Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 2 ноября


Скачать 15.02 Kb.
НазваниеДомашнее задание для 111 группы по алгебре на 2 ноября
Дата публикации20.02.2014
Размер15.02 Kb.
ТипДокументы
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 2 ноября


  1. Докажите, что любой круговой многочлен Фn(x) неприводим в Q[x].

а) Далее для каждого многочлена F с целыми коэффициентами и простого числа p будем рассматривать его редукцию Fp по модулю p (каждый коэффициент заменяется на его класс вычетов по модулю p). Докажите, что редукция произведения двух многочленов равна произведению редукций.

б) Докажите, что для любого простого p, не делящего n, редукция многочлена xn-1 по модулю p не имеет кратных множителей.

в) Докажите, что для любого многочлена f с коэффициентами в поле вычетов по модулю p

f(tp) = (f(t))p.

г) Пусть ε – комплексный первообразный корень из 1 степени n, g – унитарный многочлен, имеющий минимальную степень среди всех ненулевых рациональных многочленов, корнем которых является ε. Докажите, что g имеет целые коэффициенты и неприводим над Q, причём

Фn(x) делится на g.

д) Докажите, что если z – корень g, a простое число p не делит n, то zp – тоже корень g. Выведите отсюда, что любой комплексный первообразный корень из 1 степени n является корнем g и, следовательно, Фn = g.


  1. Как при помощи круговых многочленов доказать, что для любого натурального числа N существует бесконечно много простых чисел вида N∙k-1?




  1. Докажите, что для простого p Фpn(x) равен Фn(xp), если n кратно p, и равен Фn(xp)/ Фn(x) , если n не делится на p.




  1. Докажите, что Фn(x) = ∏(xd-1)µ(n/d), где d пробегает множество всех натуральных делителей числа n, а µ - функция Мёбиуса.


Кроме того, из предыдущего д.з. остались следующие задачи:

3. Найдите сумму k-х степеней всех комплексных первообразных корней

из 1 степени n.

  1. Пусть p – простое число, p > 2. Докажите, что наименьший положительный квадратичный невычет по модулю p меньше  +1.

Похожие:

Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 2 ноября iconДомашнее задание для 111 группы по алгебре на 6 ноября
Докажите, что наименьший положительный квадратичный невычет по модулю p меньше  +1
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 2 ноября iconДомашнее задание для 111 группы по алгебре на 13 ноября
Докажите, что наименьший положительный квадратичный невычет по модулю p меньше  +1
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 2 ноября iconДомашнее задание для 111 группы по алгебре на пятницу, 23 ноября
Оставшаяся задача Докажите, что любое натуральное число представимо в сумме четырёх квадратов целых чисел
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 2 ноября iconДомашнее задание для 111 группы по алгебре на вторник, 20 ноября
Докажите, что произведение натуральных чисел, представимых формой 2x2+2xy + 3y2, представимо формой x2 + 5y2
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 2 ноября iconДомашнее задание для 111 группы по алгебре на пятницу, 5 апреля
Получите при помощи доказательства предыдущей задачи ещё одну конструкцию автоморфизма группы S6, не являющегося внутренним
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 2 ноября iconДомашнее задание для 111 группы по алгебре ?
Докажите, что любой невнутренний автоморфизм группы S6 композиция некоторого внутреннего автоморфизма и фиксированного невнутреннего...
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 2 ноября iconДомашнее задание для 111 группы по алгебре на пятницу, 26 апреля
Почитайте по книге Каргаполова и Мерзлякова «Основы теории групп» доказательство теорем Силова (сс. 103-104)
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 2 ноября iconДомашнее задание по алгебре для 111 группы на вторник, 2 октября
Пусть a, b – взаимно простые целые числа, m и n – натуральные числа. Какие значения может принимать нод(am+bm, an+bn)?
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 2 ноября iconДомашнее задание по алгебре для 111 группы на вторник, 9 октября
Пусть ε – комплексный первообразный корень p-ой степени из 1, a – целое число. Квадратичной гауссовой суммой называется число
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 2 ноября iconДомашнее задание для 111 группы по алгебре на пятницу, 22 марта
Докажите, что две перестановки циклового типа 2+2+2 коммутируют тогда и только тогда, когда у них есть общая транспозиция
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
vb2.userdocs.ru
Главная страница