Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 6 ноября


Скачать 14.53 Kb.
НазваниеДомашнее задание для 111 группы по алгебре на 6 ноября
Дата публикации20.02.2014
Размер14.53 Kb.
ТипДокументы
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 6 ноября


  1. (Совсем старая задача) Пусть p – простое число, p > 2. Докажите, что наименьший положительный квадратичный невычет по модулю p меньше  +1.

  2. а) Докажите лемму Гаусса: НОД коэффициентов произведения двух целочисленных многочленов (содержание) равен произведению НОД коэффициентов каждого из них.


б) Будем называть многочлен примитивным, если он целочисленный и его содержание равно 1. Пусть примитивный мночлен f(x) = G1(x)G2(x), где G1(x)и G2(x) – многочлены с рациональными коэффициентами. Докажите, что тогда существуют примитивные многочлены F1(x) и F2(x) такие, что f(x) = F1(x)F2(x), причём Fk отличается от Gk умножением на рациональное число.
в) Докажите, что если в б) старшие коэффициенты многочленов f и G1 равны 1, то F1 = G1 (и, в частности, у G1 – целые коэффициенты).


  1. Докажите, что любой круговой многочлен Фn(x) неприводим в Q[x].

Остались пункты г) и д):

г) Пусть ε – комплексный первообразный корень из 1 степени n, g – унитарный многочлен, имеющий минимальную степень среди всех ненулевых рациональных многочленов, корнем которых является ε. Докажите, что g имеет целые коэффициенты и неприводим над Q, причём

Фn(x) делится на g.

д) Докажите, что если z – корень g, a простое число p не делит n, то zp – тоже корень g. Выведите отсюда, что любой комплексный первообразный корень из 1 степени n является корнем g и, следовательно, Фn = g.


  1. Разложите на целочисленные неприводимые множители многочлен x20-x10 +1.




  1. Найдите (ненулевые) целочисленные многочлены наименьшей степени, имеющие корень:
    а) cos(2π/5); б) sin(π/7); в) cos(2π/n). (В а) и б) требуется явно найти коэффициенты)



  1. Пусть p > 2, p – простое число. Сколько существует чисел z из {1, 2, …, p-2} таких, что z и z+1 – квадратичные вычеты по модулю p?

Похожие:

Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 6 ноября iconДомашнее задание для 111 группы по алгебре на 13 ноября
Докажите, что наименьший положительный квадратичный невычет по модулю p меньше  +1
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 6 ноября iconДомашнее задание для 111 группы по алгебре на пятницу, 23 ноября
Оставшаяся задача Докажите, что любое натуральное число представимо в сумме четырёх квадратов целых чисел
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 6 ноября iconДомашнее задание для 111 группы по алгебре на вторник, 20 ноября
Докажите, что произведение натуральных чисел, представимых формой 2x2+2xy + 3y2, представимо формой x2 + 5y2
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 6 ноября iconДомашнее задание для 111 группы по алгебре на пятницу, 5 апреля
Получите при помощи доказательства предыдущей задачи ещё одну конструкцию автоморфизма группы S6, не являющегося внутренним
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 6 ноября iconДомашнее задание для 111 группы по алгебре ?
Докажите, что любой невнутренний автоморфизм группы S6 композиция некоторого внутреннего автоморфизма и фиксированного невнутреннего...
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 6 ноября iconДомашнее задание для 111 группы по алгебре на 2 ноября
Далее для каждого многочлена f с целыми коэффициентами и простого числа p будем рассматривать его редукцию Fp по модулю p (каждый...
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 6 ноября iconДомашнее задание для 111 группы по алгебре на пятницу, 26 апреля
Почитайте по книге Каргаполова и Мерзлякова «Основы теории групп» доказательство теорем Силова (сс. 103-104)
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 6 ноября iconДомашнее задание по алгебре для 111 группы на вторник, 2 октября
Пусть a, b – взаимно простые целые числа, m и n – натуральные числа. Какие значения может принимать нод(am+bm, an+bn)?
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 6 ноября iconДомашнее задание по алгебре для 111 группы на вторник, 9 октября
Пусть ε – комплексный первообразный корень p-ой степени из 1, a – целое число. Квадратичной гауссовой суммой называется число
Домашнее задание для 111 группы по алгебре на 6 ноября iconДомашнее задание для 111 группы по алгебре на пятницу, 22 марта
Докажите, что две перестановки циклового типа 2+2+2 коммутируют тогда и только тогда, когда у них есть общая транспозиция
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
vb2.userdocs.ru
Главная страница