Закономерности


Скачать 70.18 Kb.
НазваниеЗакономерности
Дата публикации11.02.2014
Размер70.18 Kb.
ТипЗакон
vb2.userdocs.ru > Математика > Закон
Теория вероятностейматематическая наука, изучающая закономерности случайных событий, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий.

Результат эксперимента или наблюдения, который при данном испытании может произойти, а может и не произойти, называется случайным событием. Пример: случайное событие А « В Петербурге 15 мая 2012 года выпал снег»

В теории вероятностей изучаются результаты (исходы) экспериментов (или опытов, испытаний), которые нельзя предсказать заранее, но которые при многократном повторении подчиняются некоторым закономерностям.

Событие называется достоверным ( U), если оно при реализации данного комплекса условий непременно произойдет.

Событие называется невозможным ( V), если оно заведомо не может произойти при реализации данного эксперимента.

Пример: Из урны, содержащей только белые шары, берут один шар. U- «появление белого шара» - достоверное,

V - «появление красного шара» - невозможное.

Если никакие два события из А1,…, Аn не могут произойти одновременно, то события наз. А1,…, Аn попарно несовместными.

Суммой событий А и В называется событие А+В, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А или В

Произведением событий А и В называется событие А×В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В.

Пример. При 3-х выстрелах по мишени событие А0 – «попаданий нет», событие А1 – «одно попадание», А2 – «два попадания», А3 – «три попадания». Они несовместны и образуют полное множество элементарных событий E={А0, А1, А2, А3}. Событие А - «произошло не больше двух попаданий». Тогда А=А012. А3 противоположно А.

Событие называется событием, противоположным А. Оно состоит в том, что происходит всё из Е кроме А.

Статистическое определение вероятности

Определение. Пусть проводится некоторое испытание, в результате которого может наступить событие А. Предположим, что такое испытание проведено n раз, и при этом событие А появилось ровно f раз. Тогда число
наз. статистической вероятностью (или относительной частотой) события А в рассматриваемой серии испытаний.

Пример.Если один стрелок попадает 98 раз из 100 выстрелов, а другой- 10, то за вероятность попадания первого стрелка принимают Р1=98/100=0,98 , а вероятность второго Р2=10/100=0,1

НО: если сравнивать примерно равные возможности, то не обязательно проводить дорогие, долгие испытания.

Классическое определение вероятности.

Пусть n - число всех элементарных исходов опыта, которые образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, а m – число тех из них, которые благоприятны событию А. Тогда вероятностью события А наз. число

Пример. Найти вероятность появления при бросании кубика С-«четного числа очков».

^ Число возможных исходов при бросании кубика п=6,Число благоприятных исходов т=3, Р(C)=3/6=1/2.

Границы вероятности случайного события 0 1,

т.к. число благоприятных событий(т) всегда меньше числа возможных событий(п). Значит дробь (т/п)- меньше 1.

  • Р(V)=0-вероятность невозможного события Р(U)=1-вероятность достоверного события

«При достаточно большом числе испытаний статистическая вероятность оказывается близка к теоретически найденной классической вероятности» w(А) ~ Р(А) Обоснование: закон больших чисел (Я.Бернулли).

Пример. Статистическая вероятность рождения мальчиков w=0,518.

НО: если число различных исходов испытания бесконечно, эти способы бессильны.

Геометрическое определение вероятности

Пусть на плоскости задана некоторая область ^ D, мера (площадь) которой равна S(D), и в ней содержится область d,мера (площадь) которой равна s(d). В области D наудачу ставится точка. Тогда вероятность события А – «точка попадает в область d» равна числу
^ Условия использования различных определений вероятности события.

  • События равновозможны (испытания можно не проводить) при конечном числе исходов – классическое определение;

  • События не равновозможны (испытания нужно проводить) при конечном числе исходов - статистическое определение;

  • Число исходов события бесконечно - геометрическое определение.

Теорема 1. (о сумме попарно несовместных событий). Вероятность суммы попарно несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий.

Теорема 2.(о сумме двух событий). Вероятность суммы любых двух событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления.

Пример. В лотерее выпущено 10 000 билетов.

Установлено: 10 выигрышей по 200 рублей, 100 выигрышей по 100 рублей, 500 выигрышей по 25 рублей и 1000 выигрышей по 5 рублей. Какова вероятность того, что человек, купивший 1 билет, выиграет не менее 25 рублей?

Решение. А- «человек выиграл 25 руб», В- «человек выиграл 100 руб», С- «человек выиграл 200 руб», М- «человек выиграл не менее 25 руб». События А, В, С – попарнонесовместны. Зн., М=А+В+С и Р(М)= Р(А)+Р(В)+Р(С)= =0,061.

Если вероятность появления события В зависит от того, произошло или не произошло другое событие А, то говорят, что вероятность события В является условной. Обозначения: - условная вероятность В, если А произошло.

Теорема 3 (о произведении двух событий). Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, если первое событие произошло.

Если события А и В происходят независимо друг от друга, то

Пример. Из колоды в 36 карт наугад вынимаем 2 карты. Вычислим вероятность того, что вынуты а) две дамы; б) дама и валет.

Обозначим события: ^ А – «первая карта - дама», В– «вторая карта - дама», С – «вторая карта - валет».

P(AB) - ? P(AC) - ? ;

Вопросы для проверки:

  1. Каким событием является появление жирафёнка у кошки? наступление темноты при полном солнечном затмении?

  2. Какова вероятность того, что из урны, в которой 10 красных и 5 синих шара вынули синий и красный шар?; вынимают один за другим 2 шара. Какова вероятность того, что второй шар белый?

Решение. Пусть А- «первый шар белый», В- «второй шар белый». Р(А)=10/15=2/3 Если А произошло: Р(В)=9/14. Если А не произошло: Р(В)=10/14=5/7. Значит, вероятность В – условная: Р(В/А)=9/14

Задачи по т. вероятности.

  1. В урне находятся 4 белых и 7 чёрных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар окажется белым?()

  2. В партии из 200 лампочек 10 бракованных. Наудачу берём одну лампочку. Вычислите вероятность того, что эта лампочка исправна.()

  3. Игральная кость подбрасывается один раз. Найдите вероятность следующих событий: А – «число выпавших очков равно 3», В – «число очков чётно», С – «число очков меньше 5», D – «число очков не меньше 2».()

  4. Из коробки, в которой имеется 4 жёлтых, 4 синих и 6 красных карандашей наудачу берут 1 карандаш. Какова вероятность того, что карандаш синий?; синий или красный?()

  5. В студенческой группе 20 девушек и 10 юношей. Выбираются 3 человека для участия в конференции. Найдите вероятность того, что отобраны 3 девушки.()

  6. В читальном зале есть 12 учебников по теории вероятности, среди которых 4 новых. Наудачу берём 2 учебника. Найдите вероятность того, что оба учебника новые.()

  7. Студент разыскивает нужную ему формулу в двух справочниках. Вероятность того, что формула есть в первом справочнике, равна 0,6, во втором – 0,8. Найдите вероятность того, что формула содержится и в первом, и во втором справочниках.(0,48)

  8. В одной урне 6 белых и 4 чёрных шара, во второй – 7 белых и 3 чёрных. Из каждой урны наугад вынимаем по одному шару. Чему равна вероятность того, что оба шара белые?; шарики разных цветов?()

  9. Слово МОЛНИЯ разрезали на буквы , взяли наугад 4 буквы и выложили в ряд. Какова вероятность того, что получилось слово МИЛЯ?()

  10. В цехе работают несколько станков. Вероятность того, что за смену потребуют наладки ровно 1 станок, равна 0,2. Вероятность того, что за смену потребуют наладки ровно 2 станка , равна 0,13. вероятность того, что за смену потребуют наладки больше 2-х станков, равна 0,07. Какова вероятность того, что за смену придётся проводить наладку станков?(0,4)

  11. В день физкультурника Сизов пошёл на стадион. Можно было купить билет на футбол с вероятностью 0,3, или купить билет на баскетбол с вероятностью 0,4, или купить билет на волейбол с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что : 1) Сизов попал на соревнование, 2) Сизов попал на соревнование, в котором запрещена игра ногой?(0,9; 0,6)

  12. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку - с вероятностью 0,2, в восьмёрку – с вероятностью 0,6. найти вероятности следующих событий после одного выстрела : А – выбито не менее восьми очков, В – выбито более восьми очков.(0,85;0,25)

  13. В ящике лежат 12 белых и 8 красных одинаковых на ощупь шаров. а) Вынули наугад 8 шаров. Какова вероятность того, что ровно 3 из них красные?() б) Вынули наугад 8 шаров. Какова вероятность того, что красных шаров вынуто не больше трёх?()

  14. В ящике лежат 13 зелёных, 10 красных и 7 синих одинаковых на ощупь шаров. Вынули наугад 8 шаров. Какова вероятность того, что вынуто 3 зелёных, 2 красных и 3 синих шара?()

  15. В ящике лежат 8 белых и 12 красных одинаковых на ощупь шаров. а) Наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что хоть один из них окажется белым?() б) Наугад вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что среди них окажется не более одного белого шара?()

  16. У филателиста есть 8 разных марок на космическую тему и 10 разных марок на спортивную тему. Сколькими способами он может наклеить 3 марки первого вида и 3 марки второго вида в альбом на 6 пронумерованных мест? (4838400)

  17. Сколькими способами можно расставить на 32-х полях шахматной доски 12 белых и 12 чёрных шашек?( )

  1. Из ящика с 12 белыми и 8 чёрными шарами наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что оба они белые, что они разного цвета?(, )

  2. В одном ящике лежат 8 белых и 12 красных шаров, в другом – 15 синих и 5 чёрных шаров. Из каждого ящика наугад вынимают по одному шару. Какова вероятность того, что вынули красный и чёрный шары?(0,15)

  3. В ящике лежат 15 красных, 9 синих и 6 зелёных одинаковых на ощупь шаров. Наугад вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуто: 1 зелёный, 2 синих и 3 красных шара?()

  4. На шести одинаковых карточках написаны буквы А,В,К,М,О,С. Карточки выкладываются наугад вряд. Какова вероятность того, что получится слово МОСКВА?()

  5. В ящике лежат 31 деталь первого сорта и 6 деталей второго сорта. Наугад вынимают 3 детали. Чему равна вероятность того, что: а) все детали первого сорта; б) хотя бы одна из вынутых деталей первого сорта?()

Похожие:

Закономерности icon12. Закономерности процесса воспитания и их психо-педагогические...
Педагогические закономерности воспитания – это адекватное отражение объективной, то есть независимой от воли субъекта, действительности...
Закономерности iconВопрос Акустические закономерности музыкального искусства
Акустика- это наука изучающая обьективные физические закономерности музыки, в связи с её восприятием и исполнением
Закономерности iconКонтрольные вопросы к экзамену
Общие закономерности развития нормального и умственно отсталого ребенка. Закономерности развития умственно отсталого ребенка
Закономерности iconКариес постоянных зубов у детей. Закономерности клинических проявлений...
...
Закономерности iconСоциальное познание
Исторические закономерности наиболее устойчивые, существенные связи (промышленный переворот)
Закономерности iconЗакономерности эпизоотического процесса
Выберите мероприятия, направленные на разрыв механизма передачи возбудителя инфекции: (1)
Закономерности iconГ закономерности психических процессов, раскрытие
Заболевание, которое ассоциируется у пожилых людей со смертельным исходом, это
Закономерности iconЗакономерности эпизоотического процесса
Из перечисленных мероприятий выберите, направленные на разрыв механизма передачи возбудителя инфекции
Закономерности iconЗакономерности историко-психологического
Появление психофизики, психометрии и их влияние на развитие психологии как самостоятельной науки
Закономерности icon3 закономерности природного бытия
В отличие от первых греческих философов, софисты поставили в цент своего внимания
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
vb2.userdocs.ru
Главная страница