Дифференциал функции


Скачать 61.65 Kb.
НазваниеДифференциал функции
Дата публикации18.06.2013
Размер61.65 Kb.
ТипДокументы
vb2.userdocs.ru > Математика > Документы
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

1. Понятие дифференциала функции

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.

http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1966.jpg

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать  у/х=ƒ'(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х.

Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ'(х)•∆х и а•∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так какhttp://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1967.jpgа второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:

http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1968.jpg

Поэтому первое слагаемое ƒ'(х)∆х называют главной частью приращения функции ∆у.

^ Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х. (24.1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

dy=ƒ'(х)dх, (24.2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (24.2) следует равенство dy/dx=ƒ'(х). Теперь обозначение

производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

<< Пример 24.1

Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x2-sin(l+2x).
Решение: По формуле dy=ƒ'(х) dx находим

dy=(3х2-sin(l+2x))'dx=(6х-2cos(l+2х))dx.
<< Пример 24.2

Найти дифференциал функции

http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1969.jpg

Вычислить dy при х=0, dx=0,1.
Решение:

http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1970.jpg

Подставив х=0 и dx=0.1, получим

http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1971.jpg

^ 2. Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке АМ =∆х, |AM1|=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1972.jpg

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ'(х). Поэтому АВ=ƒ'(х)•∆х.

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-19-pic/lect1973.jpg

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

^ 3 Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy=f'(x)dx) и соответствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции у=с равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: dy=с'dx=0•dx=0.

Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-20-pic/lect205.jpg

Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:

d(uv)=(uv)'dx=(uv'+vu')dx=vu'dx+uv'dx=udv+vdu

Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть у=ƒ(u) и u=φ(х) две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию у=ƒ(φ(х)). По теореме о производной сложной функции можно написать

у'х=у'u•u'x.

Умножив обе части этого равенства на dx, поучаем у'хdx=у'u•u'хdx. Но у'хdx=dy и u'хdx=du. Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

dy=у'udu.

Сравнивая формулы dy=у'х•dx и dy=у'u•du, видим, что первый дифференциал функции у=ƒ(х) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Формула dy=у'х•dx по внешнему виду совпадает с формулой dy=у'u•du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле х — независимая переменная, следовательно, dx=∆х, во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du≠∆u.

С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

Например: d(cosu)=(cosu)'udu=-sinudu

4. Таблица дифференциалов

http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-20-pic/lect206.jpghttp://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-20-pic/lect207.jpghttp://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-20-pic/lect208.jpg

^ 5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α•∆х. Отбрасывая бесконечно малую α•∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство

у≈dy, (24.3)

причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.

^ Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.

<< Пример 24.3

Найти приближенное значение приращения функции у=х3-2х+1 при х=2 и ∆х=0,001.
Решение: Применяем формулу (24.3): ∆у≈dy=(х3-2х+1)'•∆х=(3х2-2)•∆х.

http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-20-pic/lect209.jpg

Итак, ∆у0,01.

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем ∆у:

∆у=((х+∆х)3-2(х+∆х)+1)-(х3-2х+1)=х3+3х2•∆х+3х•(∆х)2+(∆х)3-2х-2•∆х+1-х3+2х-1=∆х(3х2+3х•∆х+(∆х)2-2);

http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-20-pic/lect2010.jpg

Абсолютная погрешность приближения равна

|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.

Подставляя в равенство (24.3) значения ∆у и dy, получим

ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ'(х)∆х

или

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ'(х)•∆х. (24.4)

Формула (24.4) используется для вычислений приближенных значений функций.
<< Пример 24.4

Вычислить приближенно arctg(1,05).
Решение: Рассмотрим функцию ƒ(х)=arctgx. По формуле (24.4) имеем:

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)'•∆х,

т. е.http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-20-pic/lect2011.jpg

Так как х+∆х=1,05, то при х=1 и ∆х=0,05 получаем:

http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-20-pic/lect2012.jpg

Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не превышает величины М•(∆х)2, где М — наибольшее значение |ƒ"(х)| на сегменте [х;х+∆х].
<< Пример 24.5

Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения тела

H=gлt2/2, gл=1,6 м/с2.
Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения тела

H=gлt2/2, gл=1,6 м/с2.
Решение: Требуется найти H(10,04). Воспользуемся приближенной формулой (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H'(t)•∆t. При t=10 с и ∆t=dt=0,04 с, H'(t)=gлt, находим

http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-20-pic/lect2013.jpg

Похожие:

Дифференциал функции iconПрограмма (анализ, поток математиков, 3 семестр)
Полилинейные функции и k-формы. Многократное дифференцирование, k-линейный дифференциал и частные производные высших порядков, дифференциал...
Дифференциал функции iconВопросы к экзамену по предмету «Высшая математика» 2 семестр
Понятие дифференцируемости функции в точке. Дифференциал функции. Таблица дифференциалов
Дифференциал функции iconХ sin(x+2«пи»)=sinх. 11. Понятие элементарной функции. Основные элементарные...
Понятие функции, способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции. Примеры
Дифференциал функции iconПрограмма экзамена по математике для студентов 1 курса 2 семестра 2012 / 2013 уч г
Понятие функции двух переменных, область определения функции, график функции, следы, линии уровня
Дифференциал функции iconФункции государства
Функции призваны отражать ту деятельность государства, которая она обязана осуществлять, чтобы решать стоящие перед ней задачи. Функции...
Дифференциал функции iconИсследование функции
Математический анализ: дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Дифференциал функции iconВопросы к экзамену 1 семестр
Параметрическое задание функции. Производные первого и второго порядка параметрически заданной функции
Дифференциал функции iconВведение в языкознание практическое задание №1
Определите, какие функции языка реализуются в следующих высказываниях (название функции напишите справа от фразы)
Дифференциал функции iconФункции многих переменных. Предел непрерывности Частные производные, производная сложной функции
Дифференциальные уравнения первого порядка, теорема о единственности(?), общее решение, задачи Коши
Дифференциал функции iconВопросы к письменному экзамену (весна) по математике для студентов 1-го курса дфо
Понятие функции. Область определения функции. Понятие убывающей и возрастающей функций. Характеристика способов задания функций....
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
vb2.userdocs.ru
Главная страница