Республики беларусь учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Кафедра высшей математики


Скачать 427.17 Kb.
НазваниеРеспублики беларусь учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Кафедра высшей математики
страница1/3
Дата публикации14.11.2013
Размер427.17 Kb.
ТипЛабораторная работа
vb2.userdocs.ru > Математика > Лабораторная работа
  1   2   3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»
Кафедра высшей математики

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИКА. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

Часть 1

Гомель 2002


Составитель:

В.В. Бураковский, доцент, кандидат физико-математических наук
Рецензенты:

Т.И. Васильева, доцент, кандидат физико-математических наук;

кафедра высшей математики Учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»
Рекомендован к изданию научно-методическим советом Учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» 27 марта 2002 года, протокол №7
Лабораторный практикум включает 6 лабораторных работ по следующим разделам теории вероятностей: классическое определение вероятности, основные формулы комбинаторики, геометрические вероятности, теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса, формула Бернулли, законы распределения и числовые характеристики случайных величин. Содержит основные теоретические сведения, примеры решения задач по теории вероятностей и контрольные задания. Предназначен для студентов математического, физического, экономического и заочного факультетов.

© В.В. Бураковский

© Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины», 2002
Введение
Последние годы характеризуются интенсивным внедрением вероятностных и статистических методов в технические, социологические и экономические науки, главным образом в связи с развитием массовых процессов в производстве и экономике. Элемент случайности постоянно должен учитываться в рыночных отношениях.

Настоящий лабораторный практикум включает 6 лабораторных работ по следующим разделам теории вероятностей: классическое определение вероятности; основные формулы комбинаторики; геометрические вероятности; теоремы сложения и умножения вероятностей; формулы полной вероятности и Байеса; формула Бернулли; полиномиальное распределение; локальная и интегральная теорема Лапласа; дискретные случайные величины, законы распределения и числовые характеристики; непрерывные случайные величины, законы распределения и числовые характеристики. В практикуме содержатся основные теоретические сведения, примеры решения задач и контрольные задания. Задачи подобраны из различных источников, указанных в конце практикума. Предназначен для студентов математического, физического, экономического и заочного факультетов.

^ Лабораторная работа №1

Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики
Рассмотрим пространство элементарных исходов , состоящее из конечного числа N равновозможных результатов испытаний. Тогда вероятностью события называют отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу всех возможных элементарных исходов :

(1.1)
Это классическое определение вероятности.

При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле:

(1.2)
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

(1.3)
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

(1.4)
Число размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

(1.5)
Пример 1.1. Монета брошена 2 раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».

Решение. Пространство элементарных исходов состоит из 4-х элементарных исходов, т.е. . Событие состоит из 3-х элементарных исходов, т.е. . Поскольку все исходы равновозможны, то по классическому определению вероятности искомая вероятность
Пример 1.2. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных.

Решение. Общее число элементарных исходов равно . Благоприятствующими являются исходы, когда из общего числа стандартных n взято k деталей (это можно сделать способами), а остальные m-k деталей взяты из N-n нестандартных деталей (выбираются способами). Следовательно, число благоприятствующих исходов равно . Следовательно, по классическому определению вероятности, вероятность интересующего нас события



Задания:


  1. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что а) сумма выпавших очков равна 10; б) сумма выпавших очков равна 5, а произведение 6.

  2. В ящике имеется 12 деталей, среди которых 8 окрашенных. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что все детали не окрашены.

  3. В урне 15 шаров, среди которых 8 белых. Наудачу отобраны 7 шаров. Найти вероятность того, что среди отобранных шаров 5 белых.

  4. Набирая номер телефона, абонент забыл последние 4 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

  5. Определить вероятность того, что выбранное наудачу натуральное число при возведении в квадрат даст число, заканчивающееся 6-кой.

  6. На шести одинаковых карточках напечатаны буквы а, т, м, р, с, о. По одной наудачу извлекли 4 карточки. Найти вероятность того, что из них сложено слово «трос».

  7. Случайно выбранная кость домино оказалась не дублем. Найти вероятность того, что вторую также взятую наудачу кость домино можно приставить к первой.

  8. В урне 10 шаров, среди которых 6 красных. Наудачу отобраны 4 шара. Найти вероятность того, что все они не красного цвета.

  9. Устройство состоит из 8 элементов, из которых 3 изношены. Случайным образом включено 4 элемента. Найти вероятность того, что 2 из включенных элементов изношены.

  10. Десять книг на одной полке расставлены наудачу. Определить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся поставленными рядом.

  11. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

  12. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных в линию кубиках появится слово «спорт».

  13. Библиотечка состоит из 10 различных книг, причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги – по одному рублю и две книги – по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей.

  14. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.

  15. Определить вероятность того, что выбранное наудачу натуральное число при возведении в четвертую степень дает число, оканчивающееся на 6.

  16. На полке в случайном порядке расставлено n книг, среди которых находится двухтомник одного автора. Найти вероятность того, что оба тома двухтомника расположены рядом.

  17. Буквенный замок содержит на общей оси 5 дисков, каждый из которых разделен на 6 секторов с различными нанесенными на них буквами. Замок открывается при определенном наборе букв. Определить вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация букв.

  18. Из полного набора костей домино наудачу берется 5 костей. Найти вероятность того, что среди них не будет костей с шестеркой.

  19. На восьми одинаковых карточках напечатаны буквы а, б, г, е, л, м, о, ь. По одной наудачу извлекли 6 карточек. Найти вероятность того, что из них сложено слово «Гомель».

  20. Определить вероятность того, что выбранное наудачу целое число при возведении в третью степень дает число, заканчивающееся четной цифрой.

  21. Слово «керамит» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешиваются и из них извлекаются по очереди 4 карточки. Какова вероятность, что эти карточки составят слово «река».

  22. В партии из 50 деталей 5 нестандартных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 6 деталей 2 окажутся нестандартными.

  23. На стол бросается кубик, 2 грани которого окрашены. Какова вероятность того, что кубик упадет на стол окрашенной гранью.

  24. Из последовательности целых чисел от 1 до 10 наудачу выбираются 2 числа. Какова вероятность, что одно из низ меньше 6, а другое – больше 6.

  25. 10 книг на полке расставлены наудачу. Определить вероятность того, что при этом 3 определенных книги окажутся рядом.

  26. Набирая номер телефона, абонент забыл последние 2 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

  27. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.

  28. Библиотечка состоит из 10 различных книг, при чем 5 книг стоят по 4 рубля каждая, 3 книги – по 1 рублю и 2 книги по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу 2 книги стоят 6 рублей.

  29. Слово «книга» составлено из букв разрезной азбуки. Карточки перемешиваются и извлекаются по одной по очереди. Какова вероятность того, что карточки вновь составят слово «книга»?

  30. Найти вероятность того, что произведение двух наудачу выбранных натуральных чисел даст число, заканчивающееся на 3.


^ Лабораторная работа №2

Геометрические вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Классическое определение вероятности нельзя применить к опыту с бесконечным числом «равновероятных» исходов. В этом случае применяется геометрическое определение вероятности, которое используется, когда вероятность попадания в любую часть области пропорциональна мере этой части (длине, площади, объему) и не зависит от ее расположения и формы.

Если геометрическая мера всей области равна , а мера части этой области А, попадание в которую благоприятствует данному событию, есть , то вероятность события А определяется по формуле:

(2.1)
Области А и могут иметь любое число измерений.
Теорема 1. (Сложения вероятностей несовместных событий). Вероятность появления одного из двух несовместных событий А и В () равна сумме вероятностей этих событий:

(2.2)
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

(2.3)
Теорема 2. (Сложения вероятностей совместных событий). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

(2.4)
Теорема 3. (Умножения вероятностей). Вероятность совместного наступления двух событий А и В равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло

(2.5)
Для случая событий формула (2.5) принимает вид:



(2.6)
Пример 2.1. На отрезке длины 20 см помещён меньший отрезок длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок.

Решение: Согласно геометрическому определению вероятности (формула 2.1), получим:


Пример 2.2. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии . На плоскость наудачу брошена монета радиуса . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

Решение: Обозначим через расстояние от центра монеты до ближайшей прямой. Тогда пространство элементарных исходов , а множество благоприятствующих исходов . Поэтому


Пример 2.3. Вероятности появления каждого из двух независимых событий и соответственно равны и . Найти вероятность появления только одного из этих событий.

Решение: Вероятность появление только одного из событий и вычисляется по формуле:

Пример 2.4. В ящике 7 деталей, из которых 4 стандартных. Наудачу взяты 3 детали. Найти вероятность того, что все взятые детали являются стандартными.

Решение: Обозначим через А событие, что первая из взятых деталей является стандартной, через В – вторая выбранная деталь – стандартная, С – третья деталь – стандартная. Тогда
.

Задания:


  1. В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длины L равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстояние, не меньше L.

  2. На отрезке ОА длиной L числовой оси Ох наудачу поставлена точка . Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, меньшую, чем L/3.

  3. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность того, что наудачу выбранный шар не белого цвета.

  4. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

  5. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали.

  6. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата.

  7. На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки и , причем . Найти вероятность того, что длина отрезка ВС окажется меньше, чем L/2.

  8. Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты производятся последовательно до наступления события. Определить вероятность того, что придется производить четвертый опыт.

  9. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0,7. При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены две детали, на втором три. Найти вероятность того, что все детали первосортные.

  10. В ящике имеются 10 монет по 20 коп., 5 монет по 15 коп. и 2 монеты по 10 коп. Наугад берутся шесть монет. Какова вероятность того, что в сумме они составят не более одного рубля?

  11. С помощью шести карточек, на которых написано по одной букве, составлено слово «карета». Карточки перемешиваются, а затем наугад извлекаются по одной. Какова вероятность того, что в порядке поступления букв образуется слово «ракета»?

  12. На отрезке АВ длины наудачу поставлены две точки L и М. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке М, чем к точке А.

  13. В первой урне находятся 5 белых, 11 черных и 8 красных шаров, во второй – 10 белых, 8 черных и 6 красных. Из обеих урн наудачу извлекаются по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара одного цвета?

  14. Вероятность того, что изделие стандартное, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

  15. Среднее число пасмурных дней в июле равно шести. Найти вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода.

  16. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода – один час, а второго – два часа.

  17. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,9. Найти вероятность поражения цели (хотя бы одного попадания).

  18. В урне 5 красных, 10 синих, 14 зеленых и 1 белый шар. Какова вероятность того, что в первый раз будет вынут красный шар, во второй раз – синий и в третий – зеленый, если шары обратно не возвращаются.

  19. Трое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше появится герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков.

  20. Вероятность того, что при одном измерении допущена ошибка, равна 0,4. Производят 3 независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущена ошибка.

  21. На плоскости проведены параллельные линии, расстояние между которыми попеременно равны 1,5 и 8 см. Определить вероятность того, что наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2,5 см не будет пересечен ни одной линией.

  22. На отрезке длиной наудачу выбраны две точки. Какова вероятность, что расстояние между ними меньше , где ?

  23. В урне имеются n шаров с номерами от 1 до n. Шары извлекаются наудачу по одному без возвращения. Какова вероятность, что при k первых извлечениях номера шаров совпадут с номерами извлечений?

  24. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него бросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,5; 0,8?

  25. В урне имеется 5 шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Найти вероятность того, что извлеченные шары будут иметь номера 1,4,5 независимо от того, в какой последовательности они появились.

  26. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 9 см, наудачу брошен круг радиуса 3 см. Найти вероятность того, что круг не пересечет ни одной из прямых.

  27. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрельба происходит по очереди, причем каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз.

  28. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у которого раньше появится герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков.

  29. Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты карту пиковой масти, либо вальта, даму или короля одной масти?

  30. Студент знает 10 из 15 вопросов. Найти вероятность, что он ответит на все 3 заданных ему вопроса.

  1   2   3

Похожие:

Республики беларусь учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Кафедра высшей математики iconС. В. Шикальчик
Учреждения образования "Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"
Республики беларусь учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Кафедра высшей математики icon«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»...
Сравнительный анализ университетского образования на примере Германии, Франции, Италии, США (по выбору)
Республики беларусь учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Кафедра высшей математики iconУчреждение образования «Гомельский государственный университет имени...
На государственном экзамене выпускник должен продемонстрировать умение систематизировать информационные сведения программы экзамена,...
Республики беларусь учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Кафедра высшей математики iconМинистерство здравоохранения республики беларусь учреждение образования...
Определение фармакологии. Задачи фармакологии как науки и учебной дисциплины, ее роль и место в системе здравоохранения и медицинского...
Республики беларусь учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Кафедра высшей математики iconМинистерство здравоохранения республики беларусь учреждение образования...
Определение фармакологии. Задачи фармакологии как науки и учебной дисциплины, ее роль и место в системе здравоохранения и медицинского...
Республики беларусь учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Кафедра высшей математики iconЗагад
«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» и прилегающие к нему территории «зоной, свободной от курения» и...
Республики беларусь учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Кафедра высшей математики iconРеспублики Беларусь Учреждение образования «Гродненский государственный...
Учреждение образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы»
Республики беларусь учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Кафедра высшей математики iconРеспублики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный...
Кафедра геодезии и фотограмметрии Учреждения образования «Белорусская государственная сельскохозяйственная академия»
Республики беларусь учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Кафедра высшей математики iconРеспублики Беларусь Учреждение образования “Гродненский государственный...
Автор-составитель Н. Л. Улейчик, кандидат исторических наук, доцент кафедры истории славянских государств
Республики беларусь учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Кафедра высшей математики icon«белгородский государственный национальный исследовательский университет»...
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
vb2.userdocs.ru
Главная страница