Вашему вниманию предлагается курс лекций и содержание практических занятий, после изучения которых Вам будет необходимо сдать зачет, содер жащий 1 теоретический вопрос из лекций и 1 задача из практического курса. Удачи Вам в изучении данного предмета!


Скачать 401.45 Kb.
НазваниеВашему вниманию предлагается курс лекций и содержание практических занятий, после изучения которых Вам будет необходимо сдать зачет, содер жащий 1 теоретический вопрос из лекций и 1 задача из практического курса. Удачи Вам в изучении данного предмета!
страница2/3
Дата публикации06.11.2013
Размер401.45 Kb.
ТипЗадача
vb2.userdocs.ru > Математика > Задача
1   2   3

^ Решение краевых задач.

Опр. Краевой задачей называется задача, в которой определённым образом задано условие на краях исследуемой области. Условия определяют поведение искомой функции.

Опр. ( постановка краевых задач).

Решить дифференциальное уравнение y"=f(x,y,y'), при чём обязательно заданы граничные условия. Найти значения y в каждой точке фиксированной x.

Краевые задачи делятся на разные виды в зависимости от начальных условий:

1. Если граничные условия имеют вид: y(a)=A, y(b)=B. Где А и В либо константы, либо функция, то это краевые условия первого рода.

2. Если граничные условия имеют вид: y'(a)=A, y'(b)=B, то это краевая задача второго рода.

3. Если известны комбинации: α1·y'(a)+β1·y(a)=γ1 и

α2·y'(a)+β2·y(a)=γ2 то это краевая задача третьего рода.

Для задач первого рода известна функция, т.е. например, известно значение температуры на краях стержня.

Для задач второго рода на границах сама функция неизвестна, а известна её производная.

Для задач третьего рода неизвестно значение функции, неизвестна производная, а известна их комбинация.

Краевые задачи делятся на три основных типа:

    1. Параболического типа (пример: уравнения теплопроводности).

    2. Гиперболического типа (уравнение описывающее колебание струны).

    3. Эллиптического типа.

Рассмотрим краевую задачу 2-го рода параболического типа.

Задача: (моделирует процессы теплопереноса).



- коэффициент.

f – функция внутренних тепловых источников.

U – температура.

Начальные условия:

U(x,0)=φ(x)

x=a = f(t) - левое граничное условие

U(b)=q(t) - правое граничное условие
Для её решения использую метод сеток.

Решение:

Изобразим декартовую систему координат, где отложим х (точка стержня) и у (момент времени).

Рассмотрим стержень.

Разобьем участок стержня на n равных частей и рассмотрим шаг h=(b-a)/n (см. рисунок).

Для выбора шага по времени используем условие устойчивости: это условие применяется для явной сетки, когда последующий слой считается через предыдущий. Если это условие будет не соблюдаться, то в программе могут возникать неадекватные результаты: очень большие числа или числа разных знаков. Обычно t приходится выбирать очень маленьким, например 0,001, 0,0001, что затрудняет процесс счёта на компьютере. Например реальный процесс, который происходит 2 секунды моделируется на компьютере 2 часа.

Используя условие U(x,0)=φ(x) мы можем найти значение температуры в каждой точке стержня в начальный момент времени, т.е. посчитать значение в следующих узлах сетки:

Используя, правое граничное условие, мы найдём значение температуры на правом краю стержня во все моменты времени. На сетке эти точки будут расположены следующим образом:

(см. рисунок).



Затем, используя основное уравнение теплопроводности и выразив последующий слой через предыдущий мы можем найти значения температуры в следующих точках (см. рисунок).

И наконец распишем производную на левой границе: Найдём значение в точке U0,I:

U0,i=U1,i-

Значение в данной точке будет соответствовать следующему узлу сетки (см рисунок).

Таким образом мы посчитаем значения температуры в следующих узлах (см. рисунок)

Таким образом мы можем посчитать температуру во всей сетке (во всех узлах) и будем знать температуру стержня в каждой точке стержня в каждый момент времени.(Для получения более подробных сведений обращаётесь в раздел численных методов – решение краевых задач.)
^ Алгоритм программы.

В программе можно использовать два одномерных массива, либо один двумерный массив.

Одномерный массив описывается следующим образом:

U0[0..n] – используется для хранения данных предыдущего слоя,

U1[0..n] – используется для хранения данных последующего слоя.

Задаём начальные условия в цикле, т.е. для каждой точки стержня задаём значение температуры в нулевой момент времени:

For i:=0 to nx do { n - количество разбиений стержня}

Begin

U0[i]=φ(x) {в качестве φ(x) ,берётся функция из граничного условия}

x:=i*dx {dx –шаг, который задаётся в начале программы самостоятельно}

Затем открываем цикл по времени:

For j:=1 to T do {T – конечный момент времени}

Begin

U1[n]:=q(t1) { в качестве q(t1) ,берётся функция из правого граничного условия }

t1:=dt*j { dt –шаг, который задаётся в начале программы исходя из условия устойчивости – тоже самое что и }

Затем решаем основное уравнение теплопроводности. Предварительно расписав его в разностном виде:



Где Ui,j+1 - это U[i]

Ui,j - это U0[i]

Ui+1,j - это U0[i+1]

Ui-1,j - это U0[i-1]

Выражаем последующий слой через предыдущий:



т.е. for i:=1 to n-1 do

U1[i]:=dt*(k*(U0[i+1]-2*U0[i]+U0[i-1])/(dx*dx)+f(i))+U0[i]

Т.о. мы посчитаем температуру на следующем слое , в точках соответствующих индексам от 1 до n-1.

Используя левое граничное условие найдём: U0,i=U1,i- т.е.

U1[0]:=U1[1]-dx*f(t) {где f(t) функция т левого граничного условия}

Затем выводим слой (результат) на экран:

For i:=0 to 1 do

Write(u1[i]);

Writeln;

Переприсваиваем слои:

U0:=U1 ;

Заканчиваем цикл по времени. Заканчиваем программу.


^ Моделирование процессов с помощью уравнений гиперболического типа

Колебание струны

С помощью дифференциальных уравнений описываются погодные процессы (перенос теплого и холодного воздуха), конвективные процессы (процессы обмена слоями воздуха или газа в жидкости). Наличие турбулентности (присутствие вихря) приводит к тому, что трудно рассчитать в какой точке какая будет температура. Кроме уже выделенных уравнений для описания конвективных процессов добавляются ещё дополнительные уравнения, т.е. модель усложняется.

Системой дифференциальных уравнений описывают тепловые процессы в таких областях как авиа и ракетостроение. Например топливный бак подвергается значительному механическому и тепловому воздействию.

Классическая задача колебания струны состоит в следующем: струна с концами А,В закреплена в точках А и В, либо подвергается механическому воздействию в этих точках, при этом точка А или точка В начинает отклонятся от положения равновесия. Это отклонение можно обозначить какой-нибудь функцией, например функцией U. Тогда классической задачей о поведении струны при механическом воздействии называется следующая задача: решается уравнение второго порядка

которое описывает отклонение от положения равновесия точек внутри струны.

Начальные условия: (условие начального слоя)



Краевые условия: - левое граничное условие

- правое граничное условие.

Решить эту задачу, значит найти отклонение положения струны от равновесия, т.е. найти U в каждый момент времени.

Алгоритм

Задаём массивы (3 массива) –для хранения данных каждого из 3-х слоёв.

U1 – задаёт условия начального слоя;

U2 – определяется функцией на следующем слое (втором);

U3 – определяется значение на следующем слое (третьем).

  1. U1 –задано функцией

  2. t=0 = g(x) ; это отсюда нам необходимо выразить U2[x] (самостоятельно)

Благодаря этому условию, мы можем посчитать значения второго слоя.

4. Открываем цикл по времени

for k;2 to n do

begin

3. Распишем основное уравнение



Выразив U3[x], мы можем в цикле (for x:=0 to n-1 do) посчитать все значения отклонения для каждой точки х на третьем слое, за исключением правой граничной точки на этом же слое.

4.Для нахождения значения в правой граничной точке мы используем правой граничное условие, например , т.е. мы знаем значения в крайней правой точке стержня равной b для любого момента времени. (возможно будет дана не функция а её производная, тогда необходимо её расписать и выразить U3 в точке b ).

Затем вывод U3 и переприсваивание массивов:U1:=U2, U2:=U3;

Закрываем цикл по времени.

Программа на Pascal аналогична первой (для уравнения теплопроводности), составить самостоятельно.

^ Модели повышенной сложности.

  1. Стохастические модели.

При изучении экономических явлений часто используют модели вероятностного типа. Они отличаются от детерминических моделей. Детерминические модели не использую случайных явлений и их связи во времени.

Стохастические модели используют взаимозависимость случайных явлений во времени. Стохастические модели существуют со времени возникновения теории вероятностей. Примерами таких моделей можно считать схему бросания кости или выбор карты.

Если в относительных величинах анализируемых детерминистскими моделями существует стабильность а случайными отклонениями пренебрегают, то в стохастических моделях учитываются случайные отклонения.

Задание: подготовить проект одной стохастической модели, которая включает в себя случайное отклонение.

В экономике стохастические модели имеют наибольшее применение, т.к. экономические отклонения на рынке распространены и они имеют случайный характер.

Кроме экономики случайные процессы моделируются в психологии и педагогике, биологии. Для модели соответствующей данному предмету приходится генерировать случайное число, либо в языках программирования, либо в прикладных сферах. Но генерация случайных чисел, это не создание модели полностью.

При вычислении площади криволинейной трапеции используется формула учитывающая случайности (метод Монте-Карло)

Рассмотрим пример экономической задачи, в которой присутствует случайное отклонение.

Если рассмотреть экономическую модель, то она моделирует поведение групп станков поточной линии. Перед каждым станком имеется страховой задел (Si). Этот задел содержит детали необходимые для обеспечения станка необходимыми деталями. При недостатке страхового задела станки будут простаивать и это приведёт к снижению производительности линии. Задача сводится к нахождению страхового задела, который минимизирует издержки производства. Пусть линия состоит из m станков, zi – число полуфабрикатов поступающих на i станок после i-1 операции.




Будем предполагать, что поломки любого станка распределяются равномерно в течении главного периода работы (Т) линии . Исправление неисправности станка занимает небольшое время по сравнению с Т работой линии. Задача: найти оптимальный страховой задел s1,s2,s3,…,sm.

В такой постановке задача может быть решена методом динамического программирования, который основан на двух принципах:

1. Пошаговое конструктивное решение

2. Оптимальность

Этапность решения задачи следующая: конструируется целевая функция на первом шаге для последнего станка, находится оптимальный страховой задел Sm. На втором шаге записывается целевая функция для двух последних станков и находится Sm-1 и …Sm. И так далее пока не найдём S1.

Обозначим через ti – время работы i-го станка за период Т. Для задания этой величины надо задать закон распределения ti.

Fi(t) - плотность распределения ti.

Pi – штраф i-го станка в единицу времени.

Hi – стоимость детали после i-1 операции.

λi – производительность i-го станка в единицу времени.

τi – простой i-го станка.

Выводим τi следующим образом:

τi =

τi – случайная величина.

По формуле из теории вероятностей определяется математическое ожидание затрат для i-го станка из-за его простоев:
- математическое ожидание затрат для i –го станка.

Обозначим через ri число неиспользованных деталей после окончания работы линии.



Определим по готовой формуле математическое ожидание неиспользованных деталей для этого станка.

L1i= - математическое ожидание неиспользуемых деталей для i-го станка.

Составим уравнение характеризующее работу для поточной линии.

  1. Qm=Lm+L1m – математическое ожидание затрат от простоев неиспользованных деталей. Находим min значение Qm с помощью оптимизации полученной функции.

  2. Находим Qm-1=Lm-1+L1m-1 затраты для m-1 станка. Находится min оптимизационной функции



m. Q1=L1+L11

Таким образом задача сводится к системе уравнений в которых находится min целевых функций для любого станка.

Решить эти уравнения или найти целевую функцию можно либо составлением программы, либо графическим методом линейного программирования, но в любом случае система уравнений представляет собой стохастическую модель для описания экономического процесса.
^ Пример использования системы дифференциальных уравнений в биологии.

Примером использования системы дифференциальных уравнений в биологии является модель биоценоза с учётом введённых допущений.





N1 число жертв.

N2 число хищников.

α1 – коэффициент естественного прироста жертв.

α2 – коэффициент естественной убыли хищников.

β1 – коэффициент уничтожения хищниками своих жертв.

β2 – коэффициент защиты жертв от хищников.

Уравнение приводится к нормированному виду – это освобождение от всяких масштабных единиц, тогда система имеет вид:





где относительное число жертв.

относительное число хищников.

τ- нормированное время.

B=- коэффициент.

Данная система решается в среде MathCad, здесь же строятся графики зависимости х от τ и у от τ.
^ Нечеткая логика. Понятие о нечетких множествах.

На основе теории о нечетких логиках в настоящее время создаются новые модели в таких областях как педагогика и психология, банковское дело и экономика.

Нечеткая логика возникла как наиболее удобный способ построения систем уравнений метрополитенами и сложными технологическими процессами, а также нашла применение в бытовой технике (стиральные машины, микроволновые печи).

Математический аппарат нечеткой логики был раз0работан в США. Активное развитие данного метода началось в Японии. Появился новый термин: fuzzy – “нечеткий”, “размытый”.

Нечеткая логика является многозначной логикой и этро позволяет определить промежуточные значения для таких общепринятых оценок как “да” / ”нет”, “истинно” / ”ложно”, “черное” / ”белое”. Выражения подобные таким как “слегка тепло”, “довольно холодно” возможно формулировать математически и обрабатывать на компьютерах.

Нечеткая логика появилась в 1965 году в работах Лотфи Задэ (профессор технических наук Калифорнийского университета). Задэ расширил классическое понятие множеств. Понятие “множество” давалось следующим образом: - Это набор элементов объединенных по какому то правилу. Правило называлось характеристическим свойством и если элемент удовлетворяет этому свойству, то он не принадлежит множеству. Т. е. допускается, что характеристическая функция может принимать значение 0, 1. Заде допустил, что характеристическая функция принимает значения [0; 1]. Такие множества были названы им нечеткими.

Заде определил ряд операций над нечеткими множествами и предложил обобщение известных множеств логического вывода. Было введено понятие лингвистической переменной и допущено, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества.

Заде создал аппарат для описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление ближе по духу к человеческому мышлению и к естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличием математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель аддитивную реальности.

Самым главным понятием систем основанных на нечеткой логике является понятие нечеткого множества. Четкие множества являются подмножествами нечетких.

Пример: Рассмотрим множество молодых людей. B = {молодежь}, возраст начинается с 0. верхний предел определить на много сложней. Рассмотрим верхний предел 20. т.е. B=[0..20]. Возникает вопрос: почему на следующий день после 20-летия кто-то не является молодёжью? Очевидно это структурная проблема.

Мысль должна быть формализована, если рассуждения четкие (молодой, немолодой) то используются 0 и 1. Реально можно допустить бесконечное число значений между 0 и1 (I=[0..1]).

Для наглядности приведём характеристическую функцию множества молодых людей.

25 летние люди молоды со степенью 50%.


^ Более строгое представление о нечётких множествах (НМ)

Пусть Е - универсальное или несущее множество, х – элемент Е, R - некоторое свойство, тогда нечёткое подмножество А несущего множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар.

А={μA(x)/x}, где μA(x) – характеристическая функция принимающая значение 1 в том случае, если х полностью удовлетворяет свойству R и значениям от 0 до 1, если х не полностью удовлетворяет свойству R и 0, если х вообще не удовлетворяет свойству R.

Множество М называется множеством принадлежности, если М=[0..1], то А нечёткое множество, если М={0,1}, то А чёткое множество. Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента множеству А.

Пример записи НМ.

Если Е состоит Е={x1,x2,x3,x4,x5}М=[0,1], A – нечёткое множество для которого μA(x1)=0,3 , μA(x2)=0 , μA(x3)=1 , μA(x4)=0,6 , μA(x1)=0,9. тогда множество А можно представить в виде:

А={0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,6/x4; 0,9/x5;}

Рассмотрим пример, когда универсальным множеством Е является множество машин.

Е={запорожец; жигули; мерседес; БМВ; феррари}

На основе универсального множества создаётся НМ А.

А=”машина для бедных” . Т.о. функция принадлежности для данного множества может выглядеть следующим образом:




Точно также можно построить на основе этого множества НМ «престижные», «среднего класса», «скоростные» и т.д.

В рассмотренных примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задаёт для каждого х€Е значение μA(x), либо определяет функции совместимости. При прямых методах используются также групповые прямые методы:

Например: Группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов – «человек лысый» или «не лысый». Тогда количество утвердительных ответов делённое на общее число экспертов даёт значение μлысый данного лица.

С НМ можно выполнять те же действия, что и с числовыми множествами но они достаточно сложнее выполняются.

Например: построить характеристическую функцию для множества А- множество детей в 11а классе способных к математике. В- множество детей в 11а классе способных к музыке. Изобразить сначала отдельно две характеристические функции для множества А (5 детей), В (4), затем построить пересечение этих двух множеств.


μ(х)

Пусть А и В НМ на универсальном множестве Е, говорят, что А содержится в В, если для любого х из Е μА(x)≤ μB(x) и обозначают АB.

Пример: А-множество чисел очень близких к 10, В-множество чисел близких к 10, тогда можно сказать, что АB.

Пересечением НМ А и В называется наибольшее нечёткое подмножество содержащееся одновременно в А и в В.

μАB(x)=min(μА(x), μB(x))

Объединением НМ А и В называется НМ обозначаемое А В, функция принадлежности которого определяется следующим образом:

μAB(x)=max(μА(x), μB(x)).
^ Моделирование в среде MathCAD, Maple

Для того, чтобы решить простейшее уравнение в среде MathCAD задаётся уравнение F(x)=0,затем выписываются отдельно коэффициенты этого уравнения.





тогда задаём x(1,-5.6) промежуток где лежит корень уравнения а затем вызывается функция А:=polyroots(x).

Для того, чтобы решить уравнение в среде Maple используют следующие функции:

Solve(f(x),x);

F(x) это уравнение, х – переменная,

или fsolse(f(x),x,p);

p-параметр, p=[-1,1], после каждой скобки знак ;

Замечание. Если необходимо решить уравнение в символьном виде, то для него используется функция solve(eq,var);

Eq- уравнение, var –переменная.

Для того чтобы, изобразить график в среде MathCAD, надо сначала указать диапазон изменения аргумента т.е. показать как меняется х и у.

x:=-5,-4.5..5

y:=-10,-9.5..10 нажав клавиши . . - :

Затем вызывается из меню график и задаётся на графике х и f(x).



Для задания поверхности надо указать диапазоны, указать формулу, затем в меню «графики» вызываем «поверхность».

Все графики необходимо располагать строго после описания диапазонов и функций.

Maple позволяет решать уравнения и изображать графики функций.

Для построения графика указывается значение переменной (имя)

P:=plot(<функция 1>,<функция 2>,<диапазон для аргумента>): p;

Пример:

P;=plot(x3,x-1,x:=-2..2):p; - это пример решения уравнения x3-x-1.

Для моделирования в среде Maple можно использовать построение графиков а также построение поверхностей.


^ Моделирование в среде MathCAD задачи «Хищники и жертвы».

В 1925 г. В Италии образовался союз двух учённых: математика Вито Вольтер и зоолог Д’Анконо. Рассматривалась задача о явлении, связанном с периодическим в несколько лет возрастанием и убыванием улова промысловых рыб. Статистика привела к следующему выводу: в период 1ой мировой войны интенсивность рыбной ловли в средиземном море резко снизилась, что привело к возрастанию числа хищных рыб, питающихся промысловыми рыбами. В результате численность промысловых рыб резко упала, что в свою очередь привело к гибели части хищных рыб, потому что их пища стала исчезать.

Обсуждая данное явление они пришли к выводу, что помимо внешних факторов (смена времён года, климата) существует причины особого характера, влияющие на популяции животных.

Качественно описать словами данный процесс не представляется возможным, необходимо выразить явления с помощью формул и уравнений. Были проанализированы различные виды животных в разных местах планеты и сделаны следующие допущения модели:

1.пища (жертва) неограниченна средой обитания.

2.хищники питаются только жертвами.

3. прирост жертв пропорционален их численности.

4.убыль жертв пропорциональна произведению числа жертв и хищников.

5.прирост хищников пропорционален произведению числа хищников и жертв.

6.убыль хищников пропорциональны их числу.

Модель такого биоценоза с учётом введённых допущений определяется следующей системой из двух дифференциальных уравнений:

(1)

N1-жертвы (их число).

t-время

N2-число хищников.

(2)

- коэффициент естественного прироста жертв.

- коэффициент естественного прироста хищников.

-коэффициент уничтожения хищниками жертв.

-коэффициент защиты жертв от хищников.

Приведём уравнения 1 и 2 к нормированному виду:





где относительное число жертв.

относительное число хищников.

τ- нормированное время.

B=- коэффициент.

Составим по данной математической модели программу на языке MathCAD (см практику).


^ Статистические вычисления в среде MathCAD

Данные вычисления проводятся по следующим направлениям:

1.расчёт статистических параметров массива случайной последовательности чисел: среднее значение дисперсии, коэффициент корреляции и т.д.

2. расчёт различных законов плотности с теории вероятности (нормальная, равномерная, биномиальная и т.д.)

3.пасчёт функции распределения вероятности Лапласа, Пуассона, Стьюдента и т.д.

4.генерирование случайной последовательности чисел с равномерными законами распределения вероятности.

Категория «случайные числа» находится в подменю «встроенные функции f(x)».

Краткое описание некоторых функций MathCAD.

rnorm(M,μ,σ) – генерирует случайную последовательность чисел, подчиняющихся нормальному закону распределения.

Runf(M,a,b) - генерирует случайную последовательность чисел имеющих равномерное распределение внутри интервала (a,b)

Rnd(x) - генерирует случайную последовательность чисел имеющих равномерное распределение внутри интервала (0,x).

Категория «статистика» в подменю помогает вычислять среднее значения массива чисел путём обращения к функциям mean (M1,M2…) где M1,M2 – матрицы в которые собраны массивы обрабатываемых чисел.

Чтобы найти дисперсию массива чисел необходимо обратиться к функции var (M1,M2,…)

Коэффициент корреляции двух массивов M1,M2 вычисляется с помощью функции corr(M1,M2).

При нормальном законе распределения вероятности функцию распределения вероятности считают как определённый интеграл от плотности вероятности. Этот интеграл вычисляется с помощью функции pnorm(x,μ,σ).

Графы.

Рассмотрим основное средство создания информационных моделей. К ним можно отнести словесное описание объекта (художественное вещества, статья о нём в словаре). Самым распространённым методом в создании информационной модели является метод описания.. Другим распространённым методом построения и визуализации информационных моделей является графы.

Граф-это отражение некоторого отношения установленного между фиксированными множествами. Из двух множеств в составляющих графа -одно это множество элементов (вершины) а другое множество связей между ними (линии произвольной конфигурации). Граф состоит из множества вершин x и связей между ними U, обозначается G(x,U).

Пример. Известно, что трое учеников учащихся в одном классе помогают друг другу по разным предметам. Изобразим граф отражающий отношение помощи учащихся:



Если порядок соединения не важен, а важно то как они соединены, то такое соединение называют ребром графа А-В. Если важен порядок соединения вершин то такое соединение называют дугой графа и обозначают →.

Граф у которого вершины соединены дугами называют ориентированным. Граф у которого вершины соединены рёбрами называют неориентированным. Граф, вершины которого соединены и дугами и рёбрами называют смешанным.

Две вершины графа называют смежными, если они определяют дугу или ребро. Если вершина являются началом или концом дуги, то говорят, что вершина инцидентна дуге или ребру. Вершины не инцидентные никакому ребру или дуге называют изолированными.



Вершина инцидентная только одному ребру или дуге называется висячей.



Ребро или дуга, граничными вершинами которой является одна и та же вершина называется петлёй.



^ Виды графов.

Граф без петель и кратных рёбер (дуг) называется обыкновенным (простым, скелетным, графом Берже).

Граф без петель, но с кратными рёбрами (дугами называют мультиграфом).

Граф, соединённый только изолированными вершинами называется пустым или ноль графом.

Обыкновенный граф, в котором любые две вершины соединены ребром называются сльносвязанным или полным графом.

Части графов.

Подграфом С графа G называют граф, образованный из графа G опусканием некоторых вершин и инцидентных им рёбер. Исходный граф по отношению к подграфу является надграфом.


1. надграф графа 2

2. подграф графа 1

1) 2)

Если в результате преобразований число вершин осталось прежним, но были опущены некоторые ребра (дуги)/, то вновь образованный граф считают частичным графом (субграфом) исходного графа.

Данный граф является субграфом графа 1, а исходный граф 1 является сверхграфом.

3)

Маршруты

Маршрут определяется как некоторая последовательность ребер, в котором граничные вершины двух соседних ребер совпадают, например, последовательность ребер 1, 4, 8, 6 – маршрут.

Маршрут, все ребра которого разложены, называется цепью, например, 5, 6, 4, 2.

^ Замкнутая цепь – это цепь возвращающаяся в ту же вершину, из которой начиналась и она называется циклом, например, 5, 7, 3.

Граф, любая пара вершин которого может быть соединена маршрутом, называется связным, например, 1-3 – связные.

^ Несвязный граф представляет собой совокупность отдельных частей (подграфов) называемых компонентами связности, например:



4) 5)

Связный граф не создающий циклов, называется деревом, например:



Дерево имеет n вершин, соединенных n-1 ребром.

Несвязный граф, компоненты которого являются деревьями, называется лесом, например:


^ Способы задания графа

Произвольный граф можно задать совокупностью двух множеств – множество вершин и множество ребер. Вторым способом задания графа является представление его с помощью матрицы.

Матрица связности имеет вид квадратной таблицы, в которой представлены отношения между вершинами, где элемент матрицы – это количество связей (ребер или дуг) для других двух вершин. Если вершины смежные, то ячейка таблицы примет значение 1, если вершины соединены краевыми ребрами, то ячейка таблицы примет значение 2. Так для графа, представленного на рис.1 матрица связности будет иметь вид таблицы.




A

B

C

D

E

A

0

1

1

0

1

B

1

0

0

1

1

C

1

0

0

1

1

D

0

1

1

0

1

E

1

1

1

1

0

Из таблицы видно, что наибольшая лок. степень у вершины E: P(E)=4, у всех остальных вершин лок. степень равна 3.

Для того чтобы включенную в структуру модель представить в виде графа не структурную (количественную или текстовую) информацию довольно часто любому ребру (или любой вершине) рассматриваемого графа приписывают некоторый вес.

Граф, ребра (вершина) которого приписаны весу, называется взвешенными. Вес неудобно располагать на чертеже и схеме, поэтому взвешенный граф лучше представить в виде матрицы, такие матрицы называются матрицами весовых соотношений.

Пример: Составить взвешенный граф предложения: “С этого времени Цезарь один управлял всем в государстве по своей воле”.

В этом графе вершинами будут члены предложения, дуги синтетической связи между ними, причем вес приписан и вершинам и дугам, чтобы указать направление дуги в матрице используется знак “+” и “-“ (“+” - главное слово, “-“ -зависимое) связи, которую нужно отразить.

у – управление

с – согласные

к – координация




^ ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Моделирование физической и биологической задачи.
Задача о пушке, которой надо попасть в крепость.





Известна высота башни h и расстояние S до неё. Найти угол , при котором снаряд из пушки попадёт в башню на высоте h.

Решение.

(см в лекциях)

Горизонтальное и вертикальное смещение снаряда за время t описывается формулами:



где - ускорение свободного падения = 9.8 и - начальная скорость вылета снаряда.

Выразим t из первой формулы и подставим во вторую:



Задача сводится к решению методом половинного деления где . Метод половинного деления или аналог в артиллерийском приёме (пристреле) – одно положение выше цели, второй выстрел ниже цели.

Алгоритм метода половинного деления смотри в численных методах.

Текст программы на Pascal:
program n1;

uses crt;

var v,h,s:integer;

a1,a2,a,h1,h2,hh:real;

begin

clrscr;

writeln('Введите начальную скорость');

readln (v); { Ввод с клавиатуры скорости }

writeln('Введите расстояние до цели');

readln(s); { Ввод с клавиатуры расстояния }

writeln('Введите высоту цели');

readln(h); { Ввод с клавиатуры высоты }

a1:=0; {начальный угол}

a2:=89; {конечный угол}

a:=(a1+a2)/2; {искомый угол т.е промежуточный угол}

hh:=s*(sin(pi/180*a)/cos(pi/180*a))-(9.8*s*s)/(2*v*v*cos(pi/180*a)*cos(pi/180*a));

{высота полёта при искомом угле}

while abs(hh-h)>0.01 do

{пока разность между искомым и полученным углом больше 0.001 то выполнять цикл}

begin

if hh>h then a2:=a ;

{если полученная высота больше искомой, то а2 = промежуточному углу}

if hh
1   2   3

Похожие:

Вашему вниманию предлагается курс лекций и содержание практических занятий, после изучения которых Вам будет необходимо сдать зачет, содер жащий 1 теоретический вопрос из лекций и 1 задача из практического курса. Удачи Вам в изучении данного предмета! iconКурс лекций для студентов Психоло-педагогических специальностей
Данный курс лекций основан на материале прочитанных автором лекций в различных вузах Москвы и на материале учебной литературы, список...
Вашему вниманию предлагается курс лекций и содержание практических занятий, после изучения которых Вам будет необходимо сдать зачет, содер жащий 1 теоретический вопрос из лекций и 1 задача из практического курса. Удачи Вам в изучении данного предмета! iconПредлагаем Вам принять участие в исследовании успешности соревновательной...
При ответе на вопрос старайтесь долго не задумываться, отмечайте то, что первым приходит на ум. Ваши ответы очень важны для нашего...
Вашему вниманию предлагается курс лекций и содержание практических занятий, после изучения которых Вам будет необходимо сдать зачет, содер жащий 1 теоретический вопрос из лекций и 1 задача из практического курса. Удачи Вам в изучении данного предмета! iconКонспект лекций «Философия: конспект лекций»
В предлагаемом учебном пособии сжато изложено основное содержание вузовского курса философии, которое позволит подготовиться к экзаменам...
Вашему вниманию предлагается курс лекций и содержание практических занятий, после изучения которых Вам будет необходимо сдать зачет, содер жащий 1 теоретический вопрос из лекций и 1 задача из практического курса. Удачи Вам в изучении данного предмета! iconКурс лекций по дисциплине "стратегический менеджмент организации" автор-составитель курса лекций
Крупнейшие корпорации, банки составляют стержень экономической и политической силы великих наций. От них зависят правительства, многие...
Вашему вниманию предлагается курс лекций и содержание практических занятий, после изучения которых Вам будет необходимо сдать зачет, содер жащий 1 теоретический вопрос из лекций и 1 задача из практического курса. Удачи Вам в изучении данного предмета! iconКафедра патофизиологии патофизиология в схемах и таблицах (курс лекций)
Настоящее учебное пособие подготовлено коллективом высококвалифицированных патофизиологов, сотрудников кафедры патофизиологии Казахского...
Вашему вниманию предлагается курс лекций и содержание практических занятий, после изучения которых Вам будет необходимо сдать зачет, содер жащий 1 теоретический вопрос из лекций и 1 задача из практического курса. Удачи Вам в изучении данного предмета! iconКурс лекций Красноярск 200 министерство внутренних дел российской федерации
Теория государства и права: курс лекций по специальности 030501. 65 Юриспруденция. – Красноярск: Сибирский юридический институт мвд...
Вашему вниманию предлагается курс лекций и содержание практических занятий, после изучения которых Вам будет необходимо сдать зачет, содер жащий 1 теоретический вопрос из лекций и 1 задача из практического курса. Удачи Вам в изучении данного предмета! iconКурс лекций по общему языкознанию с
Курс лекций по общему языкознанию. Научное пособие. К.: Освита Украины, 2006. 312 с
Вашему вниманию предлагается курс лекций и содержание практических занятий, после изучения которых Вам будет необходимо сдать зачет, содер жащий 1 теоретический вопрос из лекций и 1 задача из практического курса. Удачи Вам в изучении данного предмета! iconКурс лекций по военно-технической подготовке специалистов вус-121800 " Основы радиоэлектроники "
...
Вашему вниманию предлагается курс лекций и содержание практических занятий, после изучения которых Вам будет необходимо сдать зачет, содер жащий 1 теоретический вопрос из лекций и 1 задача из практического курса. Удачи Вам в изучении данного предмета! icon«Философские проблемы математики» Курс лекций
Курс лекций «Философские проблемы математики» посвящен философии тех основных проблем, с которыми столкнулась математика в ХХ веке,...
Вашему вниманию предлагается курс лекций и содержание практических занятий, после изучения которых Вам будет необходимо сдать зачет, содер жащий 1 теоретический вопрос из лекций и 1 задача из практического курса. Удачи Вам в изучении данного предмета! iconРасписание занятий 2 курса
Биологическая химия 11 лекций (04. 09 – 15. 01; с 11. 12 каждую неделю) Гл корпус
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
vb2.userdocs.ru
Главная страница