Домашнее задание по алгебре для 211 группы на завтра
Скачать 13.89 Kb.
|
| Домашнее задание по алгебре для 211 группы на завтра 1. Сравните два способа вычисления количества сюръективных линейных отображений. 2. Докажите, что следующие условия равносильны диагонализируемости оператора A (действующего на пространстве V): а) характеристический многочлен оператора A раскладывается на линейные множители, причём для любого собственного числа A его алгебраическая и геометрическая кратности равны; б) V – прямая сумма собственных подпространств оператора A. 3. а) Как связаны между собой минимальный многочлен оператора и его сужения на некоторое инвариантное подпространство? б) Как найти минимальный многочлен оператора, если V – прямая сумма инвариантных относительно A подпространств, и известны минимальные многочлены сужений A на эти подпространства? в) Докажите, что сужение диагонализируемого оператора на инвариантное подпространство – тоже диагонализируемый оператор. 4. Пусть V – n-мерное пространство, A - оператор на V. Докажите, что пространство V – прямая сумма подпространств Ker(An) и Im(An). 5. («Метод общих элементов») Пусть F, G – многочлены от n переменных с целыми коэффициентами, и нужно доказать, что после подстановки любых элементов r1, r2, …, rn из произвольного коммутативного кольца R F(r1, r2, …, rn) = G(r1, r2, …, rn). Пусть U - некоторое непустое открытое (в стандартной топологии) подмножество в Rn (или в Cn), например, множество точек, не являющихся корнями некоторого многочлена g(x1,x2,…xn). Докажите, что если F и G совпадают как функции на U, то они равны как многочлены и, следовательно, после подстановки любого набора r1, r2, …, rn их значения совпадают. |
Похожие:
 | Домашнее задание по алгебре для 211 группы на завтра Пусть g(X) = xp – X – c – многочлен с коэффициентами в поле k характеристики p, c ≠ 0 | | Домашнее задание по алгебре на завтра для 211 группы Коммутатором элементов X,y называется xyx-1y-1, а коммутантом группы g – подгруппа G(1) = [G. G], порождённая парами элементов G |
| Домашнее задание по алгебре для 211 группы на завтра, 21 ноября Докажите, что их композит lm – тоже расширение Галуа с группой Галуа, вкладывающейся в прямое произведение групп Галуа L и M | | Домашнее задание по алгебре для 211 группы на завтра Пусть f – алгебраическое сепарабельное (но не обязательно конечное!) расширение поля k такое, что степени минимальных многочленов... |
| Домашнее задание по алгебре для 211 группы на вторник, 15 октября Из предыдущего д з. Пусть h – нормальная подгруппа конечной группы G. Докажите, что группа g разрешима тогда и только тогда, когда... | | Домашнее задание по алгебре для 211 группы на вторник, 17 сентября Докажите, что: а) √2 + √3 + √5 примитивный элемент для расширения Q(√2, √3, √5) над Q |
| Домашнее задание по алгебре для 211 группы на вторник, 29. 10 Пусть ρ – квадратный корень из (2+√2)(3 +√3). Найдите группу Галуа расширения Q(ρ) над Q | | Домашнее задание по алгебре для 211 группы на вторник, 3 декабря Докажите, что пересечение ядра и образа диагонализируемого оператора – нулевое подпространство |
| Домашнее задание по алгебре для 211 группы на вторник, 17 декабря Пусть V – произвольное, c – оператор на V, коммутирующий со всеми операторами, коммутирующими с A. Докажите, что c – многочлен от... | | Домашнее задание по алгебре для 211 группы на четверг, 12 декабря Пусть u – (9-мерное) пространство многочленов от X, y которых степени по и по y не более двух, A(F)(X,y) = F(x+1,y+1) – оператор... |