Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия


НазваниеРеспублики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия
страница8/23
Дата публикации04.02.2014
Размер3.81 Mb.
ТипУчебно-методический комплекс
vb2.userdocs.ru > Астрономия > Учебно-методический комплекс
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   23

6. 7. Способ Бесселя для решения главной геодезической задачи




  1. Рассмотренный способ решения главной геодезической задачи пригоден для малых расстояний, мы привели формулы, обеспечивающие необходимую точность при расстояниях до 30 км.

  2. Немецкий геодезист и астроном Ф. Бессель обратил внимание на то, что теорема Клеро для геодезической линии земного эллипсоида является аналогом теоремы синусов сферической тригонометрии для полярного сферического треугольника. Если в системе дифференциальных уравнений для геодезической линии земного эллипсоида ( 4. 40 )


( 6. 22 )
положить эксцентриситет, равный нулю, получим на сфере единичного радиуса
. ( 6. 23 )
Здесь α, φ, λ, σ – сферические: азимут, широта, долгота и расстояние.

Ф. Бессель рассмотрел полярные треугольники на сфере и эллипсоиде при условии, чтобы аргументы теоремы Клеро (азимуты и широты ) были бы равны на сфере и эллипсоиде. Тогда, разделив соответствующие уравнения ( 6. 22 ) и ( 6. 23 ) получим, при условии
α = A; φ = u ( 6. 24 )
следующие дифференциальные уравнения
( 6. 25 )
Интегрируя эти уравнения, получим для расстояний и долгот на эллипсоиде интегральные выражения:
.( 6. 26 )

Полученные уравнения вместе с ( 6. 24 ) определяют зависимости всех элементов соответствующего сфероидического и сферического полярных треугольников по Бесселю. Это позволяет применить формулы сферической тригонометрии для установления связи между величинами, входящими под знаки интегралов ( 6. 26 ).

На рис. 6. 3 имеем геодезическую линию, проходящую через некоторые две точки 1 и 2, пересекающую экватор в точке 0. Геодезические азимуты соответственно равны в этих точках: А1, 2π А2 и А0 и широты: u1, u2 , u0 = 0. По условию Бесселя эти сфероидические величины сохраняются на сфере единичного радиуса, где длины больших кругов выражены в радианной мере и их значения показаны на рисунке. Точка Р – полюс, а дуги РО, Р1, Р2 – меридианы соответствующих точек.

Для дальнейших выводов введем условные долготы λ0 и сферические расстояния σ0, отсчитанные от экваториальной точки геодезической линии до текущей. При вычислении определенных интегралов ( 6. 26 ) участвуют их разности, поэтому искомые величины – расстояние и разность долгот получаются как разности
σ = σ02 - σ01 ; λ2 – λ1 = λ02 - λ01

Рис. 6. 3
Применяя аналогии Непера к прямоугольному сферическому треугольнику О110 , запишем
( 6. 27 )
Дифференцируя первое из уравнений ( 6. 27 ) по переменным величинам ( азимут А0 – величина постоянная для данной геодезической линии ), получаем
( 6. 28 )
Тогда, с учетом второго и третьего уравнений ( 6. 27 ) можем записать
( 6. 29 )
Разложим подынтегральные выражения ( 6. 26 ) в биномиальный ряд по степеням малых величин e2cos2u ( e/2sin2u ) 7*10-3

( 6. 30 )


При этом заметим порядок величин членов разложений :

≤3,5*10-3;; ;

Следовательно, для обеспечения необходимой точности вычислений достаточно удерживать три члена разложения. Можно заметить то, что здесь степени разложения характеризуют малые величины определенного порядка, как и в способе со средними аргументами, но преимущество данных формул в том, что величины членов разложения ( 6. 30 ) практически не зависят от расстояния, а определяются степенями малой величины эксцентриситета меридианного эллипса.

С учетом изложенного запишем интегральные выражения ( 6. 26 ) в виде

( 6. 31 )

( 6. 32 )

С учетом третьего уравнения ( 6. 27 ) можем записать для ( 6. 31 ), введя обозначение для постоянной величины k = e/cosA0
( 6. 33 )

Интеграл долготы ( 6. 32 ) с учетом уравнений ( 6. 29 ) запишем в виде

,( 6. 34 )
где принято ω = λ2 λ1 = λ02 λ01 – разность сферических долгот.

Производя почленное интегрирование ( 6. 33 ) и ( 6. 34 ), получаем после тождественных преобразований с принятой точностью:

для расстояния
, ( 6. 35 )
где приняты обозначения постоянных коэффициентов:
6. 36 )
и для разности геодезических долгот
, ( 6. 37 )
где приняты обозначения постоянных коэффициентов:
( 6. 38 )
Таким образом получены основные формулы для решения главной геодезической задачи на большие расстояния. При вычислениях на ЭВМ можно заметить, что их объем здесь несущественно отличается от вычислений по формулам со средними аргументами. Поэтому в современных условиях лучше применять способ Бесселя для решения задачи на любые расстояния.
^ 6. 8. О современных требованиях к решению главной

геодезической задачи
Как уже отмечалось ранее, современные стандарты геодезических измерений, основанные прежде всего на спутниковых системах позиционирования ГЛОНАСС ( РФ ) и GPS-NAVSTAR ( США ) могут обеспечивать точность определения абсолютных координат точек земной поверхности и околоземного пространства практически на порядок выше, чем классические астрономические определения. Так, если положение астрономических пунктов Лапласа, на которые опираются первоклассные звенья триангуляции 1 класса, характеризуются ошибками 10 и более метров, то современные системы позволяют обеспечивать точность до 1-3 м. Существенную роль в повышении качества всех видов геодезических измерений играют компьютерные технологии автоматизации измерений и их математической обработки. По материалам уравнивания астрономо – геодезической сети 1 – 2 классов на всей территории бывшего Советского Союза получены ошибки взаимного положения смежных пунктов порядка 5 – 7 см, а спутниковыми системами обеспечивается взаимное положение пунктов на расстояниях до 20 км с ошибками порядка 7 – 10 мм. Следует отметить при этом, что спутниковые системы находятся в стадии совершенствования и позволяют определять с высокой точностью взаимное положение пунктов на большие расстояния.

Таким образом, можно говорить о том, что конец ХХ и начало ХХI века являются эпохой революционных изменений в повышении качества топографо – геодезической и картографической продукции, их представления и практического применения.

К настоящему времени разработаны различные методы решения главной геодезической задачи на любые расстояния, основанные как на совершенствовании способа Бесселя, так и альтернативные ему. Естественно, в современных условиях задача должна решаться достаточно надежно и с достаточной точностью на любые расстояния ( от 20 до 20 000 км ), удовлетворяющей высокой точности измерений.

Рассмотрим порядок решения прямой и обратной задач на любые расстояния на примере способа Бесселя. Для этого используем приведенные нами формулы и обозначения, принятые на рисунке 6. 3.
Прямая геодезическая задача:


  1. Вычисление приведенной широты исходной точки 1 по формуле





  1. Вычисление вспомогательных величин из решения прямоугольного сферического треугольника 0110



  1. Вычисление σ из формулы ( 6. 35 ) и σ02 = σ01 + σ методом последовательных приближений ( не более трех )

  2. Решение прямоугольных сферических треугольников 0110 и 0220


;

ω = λ 02 - λ01


  1. Определение геодезической долготы L2 = L1 + l, где l определяется по формуле ( 6. 37 ).


Обратная геодезическая задача:


  1. Вычисление приведенных широт точек 1 и 2

;

  1. Совместное применение формул, следуемых из ( 6. 37 ) ,

решения полярного сферического треугольника Р12 и теоремы Клеро

;

;



для вычисления ω, σ, σ01 и А0 последовательными приближениями ( не более трех )


  1. Вычисление азимутов из треугольника Р12



  1. Вычисление расстояния s по формуле ( 6. 35 )


Отметим, что приведенные формулы удобны для составления алгоритма и программы вычислений на ЭВМ при решении задачи на любые расстояния. Вообще говоря, на поверхности эллипсоида, как и на любой замкнутой поверхности, между двумя точками можно провести не одну, а две геодезические линии. При решении геодезических задач под расстоянием понимают длину кратчайшей из этих кривых.
Вопросы для самоконтроля по разделу 6:


  1. Сущность главной геодезической задачи на поверхности эллипсоида.

  2. Градация расстояний в геодезии по Гельмерту.

  3. Пути решения главной геодезической задачи на поверхности эллипсоида.

  4. Обосновать точность вычислений при решении главной геодезической задачи.

  5. Методы решения главной геодезической задачи на поверхности эллипсоида.

  6. Пояснить порядок вычисления коэффициентов разложений разностей широт, долгот и азимутов в ряды с начальными аргументами.

  7. Показать преимущества рядов со средними аргументами.

  8. В чем смысл неоднозначности средних точек геодезической линии?

  9. Смысл способа Бесселя для решения главной геодезической задачи.

  10. В чем отличие современных требований к решению главной геодезической задачи на поверхности эллипсоида от традиционных?



  1. ^ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ


7. 1. Применение плоских координат в геодезии
Мы рассмотрели решение геодезических задач на поверхности земного эллипсоида при различных расстояниях между точками. Отметим, что в большинстве случаев геодезической практики измерения производятся между точками, удаленными друг от друга на незначительные расстояния. Более того, геодезические построения, создаваемые в качестве обоснования для крупномасштабных топографических съемок инженерных объектов, населенных пунктов и др., как правило, располагаются на ограниченных по площади территориях. В этих случаях более удобной и простой является система координат на плоскости.

В системе плоских координат решение всех задач производится значительно проще – по формулам плоской тригонометрии. В геодезии, как известно, применяются две системы плоских координат: декартовые прямоугольныеx, y и полярные – расстояние s и дирекционный угол α. Со времен Гаусса в геодезии у нас в стране и в ряде других стран принята левая система координат ( рис. 7. 1 ).

Рис. 7. 1

В прямой геодезической задаче на плоскости даны прямоугольные координаты x1, y1 одной точки и полярные координаты S, α12 другой. Требуется найти прямоугольные координаты x2, y2 другой точки. Задача решается по формулам

x2 = x1 + S cosα 12

y2 = y1 + S sinα12

Обратный дирекционный угол α21 отличается от прямого на 1800

α21 = α12 ± 1800

В обратной задаче по известным прямоугольным координатам x1, y1, x2, y2, двух точек требуется найти полярные координаты. Задача решается по формулам:



Видно, что указанные формулы существенно проще формул, которые мы рассмотрели для решения аналогичных задач на поверхности эллипсоида даже при малых расстояниях. Поэтому при решении многих задач в геодезии применяют систему плоских координат, а поверхность эллипсоида заменяют плоскостью.

Поверхность эллипсоида не изометрична плоскости, т. е не может быть развернута на ней без деформаций и разрывов. Поэтому в геодезии, как и в картографии применяют различные законы взаимного отображения ( проекции ) поверхности эллипсоида на плоскости. В математической картографии подробно рассматриваются различные виды проекций, учет искажений геометрических элементов эллипсоида при их отображении на плоскости с целью создания самых различных карт от наиболее точных – топографических, до обзорных – географических ( картографические проекции ).

Анализ проекций для решения геодезических задач на плоскости ( геодезических проекций ), получивших наибольшее применение в мировой геодезической практике, показывает следующее:

во первых, геодезические проекции получают на основе теории конформного ( равноугольного ) отображения поверхностей, когда частный масштаб длин в точке не зависит от направления и сохраняется подобие бесконечно малых фигур;

во вторых, геодезические построения на отдельных объектах и в отдельных государствах, как правило, охватывают небольшие по сравнению с площадью Земли территории;

в третьих, все геодезические проекции относятся к весьма узкому классу перспективных и симметричных проекций, когда все виды искажений возрастают по мере удаления от линии или точки симметрии;

в четвертых, в геодезических проекциях, по крайней мере, один из меридианов эллипсоида на плоскости изображается прямой линией и принимается за одну из координатных осей, в левой системе – за ось абсцисс и называется осевым меридианом.

У нас в стране, других странах Европы и бывшего Советского Союза до последнего времени наиболее широкое применение для создания топографических карт и для обработки геодезических измерений нашла проекция Гаусса – Крюгера. Вообще говоря, во всех странах, как правило, для этих целей применяется одна и та же проекция (одна система плоских координат), что обеспечивает удобства совместного применения топографических карт, каталогов координат геодезических пунктов и результатов геодезических измерений при инженерно – геодезическом обеспечении проектирования, строительства и эксплуатации самых различных объектов.

Заметим, что К. Гаусс в 1825 году применил конформную проекцию для математической обработки результатов градусных измерений, выполненных вдоль Ганноверского меридиана. Удобство этой проекции заключалось в том, что искажения всех измеренных величин в ряде триангуляции, вытянутом вдоль меридиана, при отображении на плоскость были пренебрегаемо малы. Вычислив плоские координаты исходных пунктов по геодезическим, уравнивание ряда и все вычисления в нем производили на плоскости. Основные формулы для вычислений и результаты геодезических работ Гаусса впервые были опубликованы известным немецким геодезистом О. Шрейбером в 1866 году. В 1917 году в Германии и Австрии проекция Гаусса с трехградусными координатными зонами рекомендована для кадастровых работ. И лишь в 1919 году немецкий геодезист Л. Крюгер предложил проекцию Гаусса с шестиградусными зонами для создания топографических карт и математической обработки геодезических измерений, для чего были составлены специальные таблицы, существенно облегчающие вычисления. В результате проекция стала находить все большее применение в различных странах как проекция Гаусса – Крюгера. В СССР проекция Гаусса – Крюгера впервые применялась с 1928 года для обработки Донбасской триангуляции известным советским геодезистом и маркшейдером Н. Г. Келлем.

Повсеместное применение в СССР проекция Гаусса – Крюгера нашла после введения системы геодезических координат 1942 года на поверхности референц – эллипсоида Красовского ( до этого применялся эллипсоид Бесселя ). Были разработаны специальные таблицы как для логорифмических, так и нелогорифмических вычислений, для широт территории СССР. В разработку таблиц наибольший вклад внесли известные советские ученые – геодезисты Ф. Н. Красовский, А. А. Изотов, А. М. Вировец, Д. А. Ларин, Б. Н. Рабинович.
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   23

Похожие:

Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий ɝосударственный...
С. А. ɀУков, зам начальника Новополоцкого городского отдела по чрезвычайным ситуациям
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики беларусь учреждение образования «Гомельский государственный...
Учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики Беларусь Учреждение образования «Гродненский государственный...
Учреждение образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы»
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconПрограмма совместной деятельности управления образования Витебского...
Программа совместной деятельности регулирует взаимоотношения управления образования Витебского облисполкома и уо «Полоцкий государственный...
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики Беларусь Учреждение образования “Гродненский государственный...
Автор-составитель Н. Л. Улейчик, кандидат исторических наук, доцент кафедры истории славянских государств
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconМинистерство здравоохранения республики беларусь учреждение образования...
Определение фармакологии. Задачи фармакологии как науки и учебной дисциплины, ее роль и место в системе здравоохранения и медицинского...
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconМинистерство здравоохранения республики беларусь учреждение образования...
Определение фармакологии. Задачи фармакологии как науки и учебной дисциплины, ее роль и место в системе здравоохранения и медицинского...
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики Беларусь Учреждение образования «Гродненский государственный аграрный университет»
При анализе режимов работы теплосиловых установок часто приходится иметь дело с разного рода жидкостями и их парами: водой, аммиаком,...
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconПродовольствия республики беларусь учреждение образования «гродненский...
Рецензенты: доцент, кандидат биологических наук, Макарчиков А. Ф., доцент, кандидат биологических наук Кубышин В. Л
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconУчебно методический комплекс для студентов специальности 1 56 02...
Республики Беларусь осрб 1-56 02 01-2007. Приведены темы изучаемого курса, лекционных и лабораторных занятий. Изложены основные принципы...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
vb2.userdocs.ru
Главная страница