Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия


НазваниеРеспублики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия
страница7/23
Дата публикации04.02.2014
Размер3.81 Mb.
ТипУчебно-методический комплекс
vb2.userdocs.ru > Астрономия > Учебно-методический комплекс
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   23

2. О точности вычислений при решении главной

геодезической задачи
Как уже отмечалось ранее, точность любых геодезических вычислений должна быть на порядок выше точности измерений. Так масштабирование государственных геодезических сетей триангуляции 1 класса обеспечивается с относительной погрешностью 1 : 400 000 = 2. 5 * 10-6, точность геодезических азимутов на пунктах Лапласа 0. 5// = 2. 5 * 10-6, следовательно, точность вычисления этих величин должна быть не ниже 2. 5 * 10-7. Покажем, с какой точностью необходимо вычислять геодезические широты и долготы, чтобы они соответствовали точности азимутов и расстояний. Для этого в первых двух уравнениях системы ( 4. 39 ) от дифференциалов перейдем к средним квадратическим ошибкам и запишем их в виде

.

Примем условие, чтобы азимут в равной мере влиял на точность вычислений. Это будет при условии, когда А=450 . Длины сторон триангуляции 1 класса не менее 20 км. В результате получаем для близ экваториальных и средних широт mB mL ≤ 0. 0002// ≈ 10-9 . При этом требования к точности долготы снижаются по мере удаления от экватора. Подобные расчеты можно произвести и иным образом. Ошибка во взаимном положении двух смежных пунктов, связанных геодезическими измерениями, определяется поперечным сдвигом, обусловленным ошибкой передачи азимутов, и продольным сдвигом, обусловленным ошибками линейных измерений. Естественно, при построении геодезических сетей любыми методами должно выдерживаться условие равнозначного влияния ошибок угловых и линейных величин на точность. Общеизвестны формулы, определяющие поперечный и продольный сдвиги двух смежных пунктов



Отсюда следует условие построения сетей любого класса при mпрод.= mпопер. Для 1 класса мы имеем при ранее принятых условиях



Ошибки в значениях широты и долготы точки определяют ошибки ее положения на меридиане и параллели соответственно, а в совокупности – ошибку положения точки на координатной поверхности.



Отсюда следует, что вычислять широты и долготы необходимо с той же точностью, что определено и другим путем.

Таким образом получаем, что геодезические широты и долготы на пунктах 1 класса вычисляются с округлением до 0. 0001// , а геодезические азимуты принято вычислять с округлением до 0. 001//. В каталогах после уравнивания геодезической сети значения широт и долгот помещаются с округлением до 0. 001//, азимутов – до 0. 01//.
^ 6. 3. Разложение разностей широт, долгот и азимутов

в ряды с начальными аргументами
Из уравнений ( 6. 1 ) видно, что геодезические широта, долгота и азимут определяемой точки на поверхности эллипсоида являются некоторыми, пока неопределенными функциями от расстояния между определяемой и исходной точками. Это можем записать в виде

. ( 6. 2 )

При условии, что эти функции дифференцируемы и допускают разложение в ряд Тейлора по степеням малой величины s, запишем

( 6. 3 )

При условии, когда s = 0, очевидно будем иметь B1=f1 (0); L1=f2 (0); B1=f3 (0) и уравнения ( 6. 3 ) запишутся в виде
( 6. 4 )
В уравнениях ( 6. 4 ), в отличие от уравнений ( 6. 3 ), вид функций, связывающих координаты двух точек определен, а именно, выражения для первых производных нам известны из ( 4. 39 ), которые мы запишем с учетом принятых обозначений
( 6. 5 )
Вычисление последующих производных не вызывает труда, когда вторая производная равна производной от первой и т. д. Здесь применяем правила дифференцирования сложных функций, неявно зависящих от переменной s.
( 6. 6 )
Действуя аналогично и опуская промежуточные действия, получаем для вторых производных от f2 ( s ) и f3 ( s ) следующие выражения.
. ( 6. 7 )

Возникает вопрос, сколько членов разложения следует брать в ( 6. 4 ) для обеспечения необходимой точности вычислений широт, долгот и азимутов. Заметим из ( 6. 5 ) – (6. 7), что с возрастанием порядка численные значения производных уменьшаются. При этом будут уменьшаться и численные значения членов разложений ( 6. 4 ) не хуже, чем ( s / R )n , где n – его порядковый номер и при расстояниях s 30 км будем иметь малые величины первого, второго, третьего и т. д. порядка:
( s / R )1 5*10-3; ( s / R )2 2*10-5; ( s / R )3 107; ( s / R )4 5*10-10 и т. д.

Таким образом видим, что достаточно удерживать три члена разложения, при этом точность вычислений, оцененная с помощью остаточного члена разложений в форме Лагранжа, меньше требуемой точности вычислений широт, долгот и азимутов. Здесь говорят, что для решения задачи на малые расстояния достаточно удерживать малые величины третьего порядка.

Третьи производные в ( 6. 4 ) получаются как производные от вторых, выражения которых приведем без вывода, опуская слагаемые, содержащие множителями e/2, значение которых меньше требуемой точности вычислений ( имея в виду, что e/2 ≈ 7*10-3 – малая величина первого порядка ).
( 6. 8 )
Подставляя полученные выражения производных в ( 6. 4 ), получим рабочие формулы для вычислений, наиболее удобные для решения прямой геодезической задачи на расстояния до 30 км. В формулах значения производных ( коэффициентов разложений ) вычисляются по координатам начальной точки, отсюда название формул.
^ 6. 4. Разложение разностей широт, долгот и азимутов

в ряды со средними аргументами
Как отмечено, формулы для решения главной геодезической задачи, основанные на рядах с начальными аргументами, имеют ограниченные возможности. Рассмотрим один из возможных путей их усовершенствования, основанный на применении рядов со средними аргументами. При этом мы также будем удерживать в формулах для вычислений малые величины третьего порядка.

Пусть мы имеем некоторую геодезическую линию s12 ( рис. 6. 2 ), в середине которой имеем точку 0 с координатами B0 и L0, геодезические расстояния от которой до точек 1 и 2 будут соответственно s / 2 и s / 2. Действуя аналогично тому, как это делали ранее, запишем следующие разложения для широты:
( 6. 9 )


  1. Рис. 6. 2


Вычитая из первого уравнения второе, получим
, ( 6. 10 )
которое выражает разность широт как и первое уравнение ( 6. 4 ).

Аналогично получаем для разностей долгот и азимутов
( 6. 11 )

Отличие выражений ( 6. 10 ) – ( 6. 11 ) от ( 6. 4 ) состоит в том, что они содержат меньшее число слагаемых и проще для вычислений, но значения производных здесь следует вычислять по широте и азимуту середины линии. Возникает вопрос, быть может эти значения равны средним значениям, получаемым по формулам
Bm=( B1+ B2 ) / 2 и Am= ( A12+ A21 ± π ) / 2.
Проверим, так ли это, для чего возьмем полу суммы уравнений ( 6. 9 ) и аналогичных им уравнений для долгот и азимутов, в результате получим

  1. ( 6. 12 )


Отсюда видно, что средние координаты отличаются от координат середины геодезической линии на малые величины второго порядка. При этом на данной геодезической линии существуют четыре различные точки со средними координатами. Это обстоятельство следует учитывать при дальнейшем выводе рабочих формул.

В формулах ( 6. 10 ) – ( 6. 11 ) коэффициенты разложений представлены производными, являющимися функциями широты и азимута середины геодезической линии, значения которых неизвестны. Мы можем вычислить средние широту и азимут, если известны их значения в двух точках. Поэтому перейдем в коэффициентах указанных формул к средним широтам и азимутам ( средним аргументам ). При этом будем иметь в виду порядок малых величин ( 6. 12 ). Для широт имеем

( 6. 13 )

( 6. 14 )

Учитывая значения разностей из ( 6. 12 ), выражения для производных, полученные ранее ( 6. 5 ) – ( 6. 8 ), а также вычисляя частные производные

, ( 6. 15 )
получаем для ( 6. 10 ) выражение в виде
( 6. 16 )
Действуя аналогично, получаем для разностей долгот и азимутов


  1. ( 6. 17 )



  2. Заметим, что в правых частях полученных уравнений ( 6. 16 ) – ( 6. 17 ) дробные выражения, стоящие в скобках, являются малыми величинами третьего порядка, их можно для удобства вычислений с принятой точностью принять равными главным членам разложений и тогда можем записать

( 6. 18 )
Здесь вычисления ведутся в радианной мере, а в последнем уравнении, в поправочном члене принято


  1. a = lsinBm. ( 6. 19 )




  1. ^ 6. 5. Порядок решения прямой геодезической задачи

  2. по формулам со средними аргументами



  3. При решении прямой геодезической задачи известны следующие величины: B1, L1, S12 , A12 , требуется найти: B2, L2, A21. При этом очевидны уравнения:


B2 = B1 + b; L2 = L1 + l; A21 = A12 + a ± π. ( 6. 20 )


  1. При вычислении обратного азимута знак плюс берется, когда прямой азимут меньше π и знак минус – когда он больше π.

Особенностями применения формул ( 6. 18 ) при вычислениях искомых разностей является то, что нам неизвестны средние значения широт и азимутов, поэтому задача решается методом последовательных приближений. На первом этапе принимают ( Am )(1) = A12 ; ( Bm )(1) = B1, а значения разностей, стоящих в скобках уравнений ( 6. 18 ), равными нулю. Получают первоначальные значения разностей из этих уравнений b (1 ) , l (1) , a (1), , с учетом которых получают значения средних широт и долгот по формулам:
( Bm )(1) = B1 + b(1) / 2 ; Am = A12 + a(1) / 2.



  1. Для расстояний до 30 км второе приближение дает искомые разности с достаточной точностью, для контроля выполняют третье приближение. Получив значения разностей, искомые величины находят по формулам ( 6. 20 )




  1. ^ 6. 6. Порядок решения обратной геодезической задачи




  1. Здесь известными величинами являются: B1, B2 , L1, L2 , требуется определить: s12 , A12 , A21. Среднюю широту определяем по формуле Bm = ( B1 + B2 ) / 2 и разности широт и долгот b = B2 B1; l = L2 L1.

  2. Далее замечаем, чт в ( 6. 18 ) первые два уравнения можно записать с учетом ( 6. 19 ) в виде


. ( 6. 21 )



  1. Разделив второе уравнение на первое и ограничиваясь принятой точностью, получим после несложных преобразований уравнение для вычисления среднего азимута








  1. Из любого из уравнений ( 6. 21 ) выражаем расстояние s и вычисляем его с контролем по формулам


Для вычисления разности азимутов используем третье уравнение ( 6. 18 ), затем вычисляем искомые прямой и обратный азимуты по формулам



  1. A12 = Am – a / 2 ; A21 = Am + a / 2 ± π



1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   23

Похожие:

Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий ɝосударственный...
С. А. ɀУков, зам начальника Новополоцкого городского отдела по чрезвычайным ситуациям
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики беларусь учреждение образования «Гомельский государственный...
Учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики Беларусь Учреждение образования «Гродненский государственный...
Учреждение образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы»
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconПрограмма совместной деятельности управления образования Витебского...
Программа совместной деятельности регулирует взаимоотношения управления образования Витебского облисполкома и уо «Полоцкий государственный...
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики Беларусь Учреждение образования “Гродненский государственный...
Автор-составитель Н. Л. Улейчик, кандидат исторических наук, доцент кафедры истории славянских государств
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconМинистерство здравоохранения республики беларусь учреждение образования...
Определение фармакологии. Задачи фармакологии как науки и учебной дисциплины, ее роль и место в системе здравоохранения и медицинского...
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconМинистерство здравоохранения республики беларусь учреждение образования...
Определение фармакологии. Задачи фармакологии как науки и учебной дисциплины, ее роль и место в системе здравоохранения и медицинского...
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики Беларусь Учреждение образования «Гродненский государственный аграрный университет»
При анализе режимов работы теплосиловых установок часто приходится иметь дело с разного рода жидкостями и их парами: водой, аммиаком,...
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconПродовольствия республики беларусь учреждение образования «гродненский...
Рецензенты: доцент, кандидат биологических наук, Макарчиков А. Ф., доцент, кандидат биологических наук Кубышин В. Л
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconУчебно методический комплекс для студентов специальности 1 56 02...
Республики Беларусь осрб 1-56 02 01-2007. Приведены темы изучаемого курса, лекционных и лабораторных занятий. Изложены основные принципы...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
vb2.userdocs.ru
Главная страница