Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия


НазваниеРеспублики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия
страница6/23
Дата публикации04.02.2014
Размер3.81 Mb.
ТипУчебно-методический комплекс
vb2.userdocs.ru > Астрономия > Учебно-методический комплекс
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23
Рис. 5. 1


Применяя теорему косинуса стороны для сферического треугольника АВС, запишем

, ( 5. 1 )

откуда можем выразить

. ( 5. 2 )

Стороны треугольника малы по сравнению с радиусом R0, поэтому тригонометрические функции малых аргументов разложим в ряд Маклорена, ограничиваясь четвертыми степенями аргументов s / R0, в результате получим вместо ( 5. 2 )
( 5. 3 )

Заметим, что наибольший из отброшенных членов разложений в ( 5. 3 ) будет . Поставим условие, чтобы он не превосходил величины 5*10-10, что соответствует точности вычисления углов в 0. 0001//, тогда получаем предельные длины сторон треугольника, для которого ( 5. 3 ) будет обеспечивать требуемую точность  5*10-10, s  R0 * 10-2 ( 600 )1/5  230км. Преобразуем выражение ( 5. 3 ) с принятой точностью

Откуда несложно получить после приведения подобных членов
. ( 5. 4 )

Обратимся теперь к плоскому треугольнику на рис. 5. 1. Для него можем записать по теореме косинусов плоской тригонометрии

.

И выражение для sin2A = 1 cos2A
.

С учетом этого выражение ( 5. 4 ) принимает вид

. ( 5. 5 )

Преобразуя разность косинусов в произведение и полагая
,
получим вместо ( 5. 5 ) для разности сферического и соответствующего плоского углов выражение



Несложно заметить, что уравнение



выражает площадь треугольника, поэтому для разности любых углов сферического и плоского треугольников справедливы выражения



Поскольку сумма внутренних углов плоского треугольника всегда равна , можем записать для суммы углов сферического треугольника

( 5. 6 )

Величина, определяющая в ( 5. 6 ) насколько сумма внутренних углов сферического треугольника больше , носит название сферического избытка и обозначается . Отсюда следует вывод, что сферический избыток треугольника ( как и любого многоугольника на сфере ) прямо пропорционален площади и обратно пропорционален квадрату радиуса сферы, что и выражает теорему Лежандра. При этом каждый угол сферического треугольника больше соответствующего угла плоского треугольника на величину одной трети сферического избытка ( для n – угольника – больше на величину / n ).

Сферический избыток может достигать в общем случае величины до 2 . Для малых треугольников, которые мы рассматриваем, эта величина малая и ее выражают в секундах, поэтому формула для вычисления сферического избытка имеет вид

( 5. 7 )

Для вычисления площади Р треугольника можно применять любую формулу. Так для треугольников триангуляции, когда известна только одна сторона удобнее формулы вида

( 5. 8 )
В трилатерации измерены длины сторон, а углы неизвестны, поэтому здесь более удобно вычислять площадь треугольника по формуле Герона

( 5. 9 )

Из формулы ( 5. 7 ) видно, что наибольший сферический избыток ( при заданном порядке длин сторон ) будет иметь равносторонний треугольник. Несложно подсчитать, что сферический избыток для различных длин сторон геодезических треугольников не превзойдет следующих величин: при s км = 5, 10, 20, 30, 60 - // = 0. 07, 0. 25, 1. 0, 2. 0, 8. 0 соответственно. Величина f = // / 2R2 изменяется с широтой очень медленно. Учитывая, что сферический избыток даже в сети 1 класса с длинами сторон до 60 км не превышает 8//, а точность вычисления углов – 0. 001//, при его вычислении достаточно удерживать четыре верные значащие цифры. Это значит, что при его вычислении можно пренебречь различием площадей сферического и плоского треугольников, а величину f можно считать постоянной и равной для всей территории Республики Беларусь ( f = 2. 530* 10 9 ), если длины сторон выражены в метрах.
5. 3. Порядок решения треугольников по теореме Лежандра
В условиях Республики Беларусь длины сторон триангуляции 1 класса не превышают величины 30 км. Порядок решения сети треугольников триангуляции по теореме Лежандра будет следующим:

  1. определяют порядок решения треугольников сети так, чтобы последовательно производилась передача длин сторон из треугольника в треугольник, в конечном итоге замыкалась на исходную сторону;

  2. по длине стороны и измеренным углам вычисляют сферический избыток по формулам ( 5. 7 ) – ( 5. 8 ) в триангуляции 1 класса с округлением до 0. 001//, в триангуляции 2 класса – до 0. 01//;

  3. вычитают из измеренных значений углов треугольника одну треть сферического избытка – получают измеренные приведенные плоские углы;

  4. вычисляют невязку треугольника и вычитают одну треть ее из каждого угла – получают уравненные плоские приведенные углы треугольника;

  5. по теореме синусов плоской тригонометрии вычисляют неизвестные две стороны треугольника с контролем



расхождение значений стороны с, полученное в треугольнике дважды, не должно превышать 0. 001 м.

В том случае, когда решаются треугольники, объединенные в сеть, необходимо последний из решаемых треугольников выбрать так, чтобы он примыкал к первому. И в этом случае контролем правильного решения будет условие, что расхождение в длине стороны, полученной дважды, не превышает величины 0. 001 м.

Если решаются треугольники трилатерации, порядок следующий:

  1. вычисление плоских приведенных углов треугольников по формулам

;

  1. вычисление сферического избытка по формулам ( 5. 7 ) и ( 5. 9 );

  2. вычисление сферических углов треугольников по формулам


^ 5. 4. Способ аддитаментов и порядок решения треугольников
Для треугольника АВС рис. 5. 1 можем записать по теореме синусов сферической тригонометрии

. ( 5. 10 )

Далее представляем синусы малых аргументов в виде разложений в ряд по формуле Маклорена с той же точностью, что и в способе Лежандра, в результате получаем

;

. ( 5. 11 )
Несложно заметить, что для любого класса триангуляции или трилатерации величины, вычитаемые из длин сторон ( b, a ), малые и их называют аддитаментами. Например, для длин сторон s ≤ 60 000м имеем аддитаменты . С учетом этого можем записать вместо ( 5. 11 ) для приведенных длин сторон выражение в виде теоремы синусов плоской тригонометрии

. ( 5. 12 )

Отсюда видно, если в сферическом треугольнике из исходной стороны вычесть аддитаменту, получив ее приведенную длину, приведенные длины других сторон можем вычислить по теореме синусов плоской тригонометрии, если использовать уравненные сферические углы треугольника. На практике способ аддитаментов для решения треугольников используют, как правило, для контроля решения способом Лежандра.

Таким образом замечаем порядок решения сферических треугольников по способу аддитаментов.

В триангуляции:

  1. получают уравненные сферические углы треугольников, для чего из способа Лежандра берут уравненные плоские углы плюс одна треть сферического избытка;

  2. вычисляют аддитаменту исходной стороны по формуле ;

  3. вычисляют приведенную длину исходной стороны по формуле ;

  4. по теореме синусов плоской тригонометрии вычисляем приведенные длины определяемых сторон с контролем

;

  1. вычисляем аддитаменты определяемых сторон

;

и точные значения сторон сферического треугольника



При вычислении аддитаментов можно использовать как точные, так и приведенные длины сторон. В этом случае для любого класса триангуляции будет обеспечена необходимая точность вычислений сторон, как и в способе Лежандра. Действуя последовательно, решают любое число треугольников.

В трилатерации:

  1. вычисляют аддитаменты всех сторон треугольников и их приведенные длины ;

  2. по теореме косинусов плоской тригонометрии вычисляют сферические углы треугольников



Действуя последовательно, решают любое число треугольников.
Вопросы для самоконтроля по разделу 5:


  1. Что собой представляет геодезический треугольник?

  2. В каких случаях геодезический треугольник можно заменить сферическим?

  3. Смысл решения треугольников триангуляции и трилатерации.

  4. Сформулировать теорему Лежандра.

  5. В каких пределах может изменяться сферический избыток? Примерные величины сферического избытка треугольников триангуляции.

  6. Необходимая точность вычислений сферического избытка.

  7. Смысл способа аддитаментов.

  8. Величины аддитаментов треугольников триангуляции и трилатерации.

  9. Необходимая точность вычислений аддитаментов.

  10. Что такое приведенная длина стороны треугольника при его решении способом аддитаментов?



  1. ^ ГЛАВНАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА



6. 1. Общие сведения о решении главной геодезической

задачи на поверхности эллипсоида
Основной задачей геодезии является определение координат точек земной поверхности и околоземного пространства. Координатной поверхностью в геодезии, как известно, является поверхность земного эллипсоида. Таким образом, задача сводится к вычислению сфероидических координат по результатам спутниковых, астрономических, гравиметрических и геодезических измерений с использованием геометрии земного эллипсоида.

Как отмечалось ранее, на поверхности земного эллипсоида приняты две системы геодезических координат – параметрическая ( широты и долготы, пространственные прямоугольные ) и полярная ( азимуты и расстояния ). В результате спутниковых и астрономических измерений и их редуцирования на поверхность эллипсоида получают пространственные прямоугольные координаты, геодезические широты, долготы точек и азимуты направлений. Геодезические измерения, выполненные в триангуляции, трилатерации, полигонометрии и их сочетаниях, после редуцирования на поверхность эллипсоида дают длины геодезических линий между точками эллипсоида и углы между ними. Точность редукционных вычислений всегда на порядок выше точности измерений соответствующих величин, поэтому при их математической обработке считают величины на эллипсоиде измеренными.

  • Р

Сущность главной геодезической задачи сводится к установлению связи между системой параметрических и полярных координат на поверхности эллипсоида. Формулы связи пространственных прямоугольных координат и геодезических широт, долгот и высот нами рассмотрены ранее. Поэтому при рассмотрении методов решения главной геодезической задачи на поверхности земного эллипсоида под параметрическими координатами мы будем понимать геодезические широты и долготы. В основе решения главной геодезической задачи лежит полярный сфероидический треугольник PAB ( рис. 6. 1 ). Различают прямую и обратную геодезические задачи.

Прямая геодезическая задача: по известным геодезическим широте ( B1 ) и долготе ( L1 ) одной точки, длине ( S12 ) и азимуту (А12 ) геодезической линии до другой точки вычислить геодезические широту ( B2 ) и долготу ( L2 ) другой точки, а также обратный азимут (А21 ).

Здесь требуется вычислить параметрические координаты определяемой точки, обратный азимут по ее полярным координатам, отсчитанным от исходной точки.

Обратная геодезическая задача: по известным геодезическим широтам ( В1, B2 ) и долготам ( L1, L2 ) двух точек вычислить прямой и обратный азимуты (А12 , А21 ) и длину геодезической линии между ними ( S12 ).

Здесь по известным параметрическим координатам двух точек вычисляются связывающие их полярные координаты.

Если бы шла речь о решении главной геодезической задачи на сфере единичного радиуса, то применимы формулы сферической тригонометрии для решения полярного сферического треугольника. При этом, как в прямой, так и в обратной задачах необходимо в треугольнике по трем известным элементам вычислить три неизвестные. Здесь задача решается однозначно и точность ее решения зависит только от формата вычислений.

Замкнутых формул сфероидической тригонометрии не существует, поэтому решение главной геодезической задачи на поверхности земного эллипсоида производится приближенными методами, в основе которых лежат различные пути приближенного интегрирования системы дифференциальных уравнений для геодезической линии эллипсоида вращения ( 4. 39 ), которую запишем в следующем виде
(6. 1 )

P

Экватор
Рис. 6. 1.
При выборе этих путей следует иметь в виду, что сжатие земного эллипсоида величина малая, а расстояния между точками, для которых необходимо решать задачу могут существенно различаться. Так при решении прямой задачи это расстояние ограничивается дальностью действия геодезических приборов ( теодолитов, дальномеров, спутниковых и других навигационных систем ). При решении обратной задачи при полигональном уравнивании геодезических построений – длинами первоклассных звеньев, в навигации – расположением начальных и конечных пунктов дистанции. Немецкий астроном и геодезист Ф. Гельмерт предложил следующую градацию расстояний в геодезии:

малые – ( S / R ) ≤ 0. 01 ( до 60 км );

средние – 0. 01 < ( S / R ) ≤ 0. 1 ( от 60 до 600км );

большие - ( S / R ) > 0. 1 ( от 600 до 20 000 км ).

С развитием науки и техники точность и дальность действия геодезических приборов возрастает, совершенствуются измерительные технологии, методы их математической обработки и представления на основе автоматизации с широким применением ЭВМ. В связи с этим в настоящее время главная геодезическая задача должна с необходимой точностью решаться на любые расстояния, для чего разработаны соответствующие алгоритмы ее решения на ЭВМ.

Вместе с тем полезно проследить, как в историческом аспекте формировались знания в этой области. Следует отметить, что при вычислениях вручную с использованием малой вычислительной техники (арифмометров, калькуляторов) и специальных таблиц, весьма важным фактором являлся объем вычислений. При этом наиболее часто возникала практическая потребность в решении прямой и обратной задач на малые расстояния, реже на средние и исключительно редко на большие расстояния. При этом необходимая точность решения задач понижалась с возрастанием расстояний. Это определялось уровнем развития измерительных технологий и потребностями в геодезическом обеспечении навигационных средств.

В связи с этим различают два пути решения главной геодезической задачи: прямой и косвенный. В прямом пути предполагается вычисление значений искомых величин по известным. В косвенном пути вычисляются разности между известными и искомыми величинами, которые затем вводятся в соответствующие значения известных величин для вычисления искомых. Наибольший эффект по сокращению объема вычислений вручную достигается применением косвенного пути решения задачи на малые расстояния, когда разности координат исходного и определяемого пунктов – величины малые и число значащих цифр при их вычислениях вручную существенно меньше.

Известны различные методы решения главной геодезической задачи, но все они приводят к разложению в ряды по степеням малых величин S / R и эксцентриситета меридианного элипса. Понятно, что только при малых расстояниях разложения в ряды по степеням S / R дают эффект, в других случаях применимы только ряды по степеням эксцентриситета, сходимость которых практически не зависит от расстояний. В этом контексте мы рассмотрим наиболее известные два метода решения главной геодезической задачи.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23

Похожие:

Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий ɝосударственный...
С. А. ɀУков, зам начальника Новополоцкого городского отдела по чрезвычайным ситуациям
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики беларусь учреждение образования «Гомельский государственный...
Учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики Беларусь Учреждение образования «Гродненский государственный...
Учреждение образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы»
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconПрограмма совместной деятельности управления образования Витебского...
Программа совместной деятельности регулирует взаимоотношения управления образования Витебского облисполкома и уо «Полоцкий государственный...
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики Беларусь Учреждение образования “Гродненский государственный...
Автор-составитель Н. Л. Улейчик, кандидат исторических наук, доцент кафедры истории славянских государств
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconМинистерство здравоохранения республики беларусь учреждение образования...
Определение фармакологии. Задачи фармакологии как науки и учебной дисциплины, ее роль и место в системе здравоохранения и медицинского...
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconМинистерство здравоохранения республики беларусь учреждение образования...
Определение фармакологии. Задачи фармакологии как науки и учебной дисциплины, ее роль и место в системе здравоохранения и медицинского...
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики Беларусь Учреждение образования «Гродненский государственный аграрный университет»
При анализе режимов работы теплосиловых установок часто приходится иметь дело с разного рода жидкостями и их парами: водой, аммиаком,...
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconПродовольствия республики беларусь учреждение образования «гродненский...
Рецензенты: доцент, кандидат биологических наук, Макарчиков А. Ф., доцент, кандидат биологических наук Кубышин В. Л
Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconУчебно методический комплекс для студентов специальности 1 56 02...
Республики Беларусь осрб 1-56 02 01-2007. Приведены темы изучаемого курса, лекционных и лабораторных занятий. Изложены основные принципы...
Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2014
контакты
vb2.userdocs.ru
Главная страница