Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия


НазваниеРеспублики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия
страница5/23
Дата публикации04.02.2014
Размер3.81 Mb.
ТипУчебно-методический комплекс
vb2.userdocs.ru > Астрономия > Учебно-методический комплекс
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23
  • В результате, получим после несложных преобразований


    . ( 3. 20 )
    В этом уравнении нет необходимости последовательно вычислять различные тригонометрические функции от искомой широты В, как это нужно делать в уравнении ( 3. 19 ), что упрощает вычисления.

    Определив долготу и широту по приведенным формулам, геодезическую высоту можно определить с контролем из уравнений ( 3. 16 ) или ( 3. 18 )

    . ;
    ; (3. 21)
    Вопросы для самоконтроля по разделам 2-3:

    1. Сколько и какие параметры однозначно определяют форму и размеры эллипсоида вращения?

    2. Какие широты применяют для решения задач сфероидической геодезии?

    3. Какая из широт наибольшая и наименьшая?

    4. Дать определения геодезических меридианов и параллелей.

    5. Как используется геометрический смысл производной?

    6. Дать определения геодезических широты, долготы и высоты.

    7. Записать систему уравнений для вычисления пространственных прямоугольных координат по геодезическим широте, долготе и высоте.

    8. В чем особенности вычисления геодезической широты по пространственным прямоугольным координатам?




    1. ^ ГЕОМЕТРИЯ ЗЕМНОГО ЭЛЛИПСОИДА


    4. 1. Классификация кривых на поверхности
    На любой поверхности между двумя точками можно провести бесконечное множество самых различных линий, обладающих теми или иными свойствами. Для решения геодезических задач на поверхности эллипсоида нас будут интересовать из этого множества только те линии, которые связаны с измерениями, редуцированными на поверхность эллипсоида с физической поверхности Земли, а также координатные линии.

    С учетом этого рассмотрим следующие линии на поверхности земного эллипсоида.

    ^ Плоские сечения – линии, образованные как след пересечения поверхности некоторой плоскостью. В зависимости от того, как ориентирована плоскость сечения относительно поверхности, различают: нормальные сечения в данной точке, если плоскость сечения содержит в себе нормаль к поверхности в данной точке, центральные сечения, когда плоскость содержит в себе центр эллипсоида, в этом случае всегда сечение будет нормальным в экваториальных точках. Если нормальное сечение проходит в азимуте, равном 900, его называют первым вертикалом эллипсоида в данной точке, радиус которого равен N, выражение которого приведено в формуле ( 3. 16 ).

    ^ Геодезическая линия – кратчайшая кривая между двумя точками на поверхности. Следует заметить, что геодезические линии на любой поверхности играют особую роль ( прямые на плоскости, дуги больших кругов на сфере и др. ). Геометрия геодезических линий характеризует геометрию поверхности и все метрические задачи на поверхностях решают с помощью уравнений, связывающих элементы геодезических линий. Примером этому являются формулы плоской и сферической тригонометрии, связывающие линейные и угловые элементы геометрических фигур, образованных прямыми линиями на плоскости и дугами большого круга на сфере. Следует отметить, что на произвольных поверхностях, вообще говоря, не существует подобных формул в замкнутом виде в элементарных функциях, здесь используют дифференциальные формулы геодезических линий, интегрирование которых позволяет решать различные задачи. В этих случаях используют методы дифференциальной геометрии поверхностей.

    При решении геодезических задач на поверхности земного эллипсоида мы будем использовать методы дифференциальной геометрии.

    Для того, чтобы лучше понять данные методы, применяемые в сфероидической геодезии, вспомним основные элементы кривых на поверхностях. Прежде всего вспомним, что в дифференциальной геометрии выделяют регулярные или гладкие кривые и поверхности, не имеющие особых ( разрывных ) точек и линий. На таких линиях и поверхностях для текущей точки производная непрерывна и плавно меняет свое значение с изменением координат. Такие кривые и поверхности называют также дифференцируемыми. Поверхность эллипсоида регулярная и мы будем рассматривать геометрию регулярных кривых на этой поверхности.

    Вспомним основные определения, относящиеся к кривым на поверхностях. В каждой точке кривой можно провести три взаимно перпендикулярные плоскости и прямые (рис. 4. 1), образующие сопровождающий трехгранник кривой:

    1. касательную плоскость К к поверхности и вектор касательной к кривой L в точке М, имеющие одну общую точку с поверхностью и кривой;

    2. нормальную плоскость N, которая перпендикулярна касательной плоскости – все прямые, лежащие в нормальной плоскости и проходящие через точку М, называются векторами нормалей к кривой в данной точке, один из которых перпендикулярен касательной плоскости и называется нормалью к поверхности в данной точке;

    3. соприкасающуюся плоскость кривой S, проходящую через три бесконечно близкие точки кривой, вектор нормали, лежащий на пересечении нормальной и соприкасающейся плоскостей называется главной нормалью кривой ;

    4. бинормаль - нормаль, перпендикулярную к соприкасающейся плоскости;

    5. Таким образом можно отметить, что любая плоская кривая ( следовательно, и плоское сечение на поверхности ) имеет одну соприкасающуюся плоскость. У геодезической линии в каждой ее точке главная нормаль кривой совпадает с нормалью к поверхности в данной точке. Для произвольных кривых на поверхностях точки, в которых эти два вектора совпадают, называются геодезическими точками. Если на поверхности эллипсоида вращения проведено нормальное в данной точке сечение, то она также геодезическая, как геодезической будет точка, находящаяся на продолжении нормального сечения до точки, лежащей на одной параллели с данной. У центральных сечений эллипсоида экваториальные точки геодезические. Таким образом можно отметить, что любое нормальное сечение земного эллипсоида имеет, по крайней мере, две геодезические точки, удаление которых будет тем больше, чем ближе плоскость сечения проходит от его центра.


    Рис. 4. 1



    Если на поверхности эллипсоида ( рис. 4. 2 ) имеем две точки А и В, то между ними можно провести как геодезическую линию ( одну единственную ), так и нормальное как в одной, так и другой точках сечения. Если эти точки не лежат на одной параллели ( ВА ≠ ВВ ), что чаще всего может иметь место на практике, то получаем два взаимно нормальных сечения AaB и BbA, плоскости которых пройдут: для прямого нормального сечения в точке А - через точку В и нормаль АnA , для прямого нормального сечения в точке В – через точку А и нормаль BnB . Эти сечения не совпадут друг с другом потому, что нормали к поверхности эллипсоида АnA и BnB в данных точках не лежат в одной плоскости, а образуют скрещивающиеся прямые. Это хорошо видно из рисунка 4. 2.

    Уравнение любой поверхности можно записать в векторной форме
    , ( 4. 1 )





    • Рис. 4. 2



    Рис. 4. 2
    подставляя сюда выражения для координат ( 3. 14 ) или ( 3. 15 ) для эллипсоида получим уравнения его поверхности в функции параметрических координат:
    ( 4. 2 )
    Для любой кривой на поверхности можем записать уравнение в дифференциальной форме, которое выражает линейный элемент поверхности.

    ,

    или в параметрических координатах
    . ( 4. 3 )
    Уравнение ( 4. 3 ) носит название первой основной квадратичной формы Гаусса для любой поверхности, коэффициенты которой E, F, G имеют выражения в частных производных:

    ( 4. 4 )

    Для ортогональной координатной сетки на поверхности эллипсоида (меридианов и параллелей ) всегда имеет место F = 0, в чем несложно убедиться, если иметь в виду уравнения ( 3. 14 ) или ( 3. 15 ), из которых, кроме того, получаем выражения

    .( 4. 5 )
    С учетом этого линейный элемент поверхности эллипсоида имеет выражение.
    , ( 4. 6 )
    здесь приняты обозначения коэффициентов первой квадратичной формы для эллипсоида E = M2, G = r 2 и их выражения следуют из уравнений ( 4. 5 ). Геометрический смысл этих коэффициентов поясним несколько дальше.


    1. ^ 2. Координатные линии на поверхности эллипсоида


    Как уже отмечалось ранее, координатными линиями на поверхности земного эллипсоида являются меридианы и параллели, уравнения которых могут быть получены из уравнения ( 4. 6 ), учитывая ( 4. 5 ). Полагая L = const, dL = 0, получим уравнение меридиана в функции геодезической и приведенной широты
    ( 4. 7 )
    И для параллели получим аналогично при условии B = const, dB = 0
    ( 4. 8 )

    В выражении ( 4. 7 ) и в последующем мы используем принятое в геодезии обозначение функции V. Эта величина носит название второй основной функции широты и имеет следующие выражения.

    ( 4. 9 )
    Сравнивая выражения ( 4. 6 ), ( 4. 7 ) и ( 4. 8 ) , замечаем, что величина M выражает радиус кривизны меридиана, а r – параллели.

    Учитывая изложенное, заметим, что меридианы и параллели земного эллипсоида представляют собой плоские сечения. При этом меридианы – нормальные сечения, состоящие сплошь из геодезических точек, следовательно, они являются также геодезическими линиями. Заметим, что геодезические линии эллипсоида, проходящие в произвольном азимуте, не являются плоскими кривыми. Меридиан является исключением. Параллели земного эллипсоида являются наклонными по отношению к нормали плоскими сечениями. Более того, выражая радиус параллели r через радиус первого вертикала N ( 3. 16 ), замечаем угол наклона плоскости параллели к нормали , которая лежит в плоскости первого вертикала, равный геодезической широте В.

    ( 4. 10 )
    При этом уравнение вида ( 4. 10 ) устанавливает связь между радиусами кривизны наклонных и нормальных плоских сечений и выражает теорему Менье.

    Можно отметить, что параллель наибольшего радиуса ( экватор ) является нормальным сечением и геодезической линией.

    В теории поверхностей координатные сетки в виде меридианов и параллелей, когда одна координатная линия является геодезической, а другая негеодезическая, называют полугеодезическими.
    ^ 4. 3. Главные радиусы кривизны поверхности эллипсоида.
    Из теории поверхностей известно, что в каждой точке поверхность имеет различную кривизну, зависящую как от координат данной точки, так и направления. Другими словами, если в данной точке поверхности провести нормальные сечения, то радиус их кривизны будет зависеть от направления ( азимута ). При этом на любой поверхности всегда можно выбрать такие два направления, вдоль которых будет иметь место наибольший и наименьший радиусы ее кривизны. Такие направления на поверхности называют главными, а радиусы кривизны нормальных сечений, проходящих вдоль этих направлений называют главными радиусами кривизны поверхности.

    Если взять меридиан PQ ( рис. 4. 3 ), то он делит поверхность эллипсоида на две симметричные по геометрическим параметрам части. Направление вдоль меридиана является одним из главных направлений на поверхности эллипсоида, вдоль которого кривизна поверхности равна величине, обратной радиусу меридиана

    ( 4. 11 )
    Вторым главным направлением на поверхности эллипсоида является направление вдоль первого вертикала – дуга Tk ( рис. 4. 3 ) и кривизна поверхности эллипсоида вдоль этого направления имеет выражение

    ( 4. 12 )

    Q

    На рисунке показаны главные радиусы кривизны поверхности эллипсоида в точке Т, широта которой равна В:

    M – отрезок нормали TmT , заключенный между точкой на поверхности эллипсоида и точкой касания с астроидой;

    ^ N – отрезок нормали TnT , заключенный между точкой на поверхности эллипсоида и точкой пересечения с осью вращения эллипсоида.

    Заметим величину глав- ных радиусов кривизны для полярной точки Р, в которой В = 900 :

    Рис. 4. 3

    Величины M и N носят название главных радиусов кривизны поверхности эллипсоида в данной точке.

    ( 4. 13 )

    Эта величина носит название полярного радиуса кривизны эллипсоида и обозначается с. На рисунке 4. 3 – это отрезок РС.

    Для экваториальной точки Q , где В = 0 имеем соответственно:

    , ( 4. 14 )

    на рисунке - отрезок QA;

    , ( 4. 15 )

    на рисунке - отрезок QО.

    Вообще говоря, ось вращения эллипсоида является геометрическим местом центров кривизны первых вертикалов, а астроида – геометрическим местом центров кривизны меридианов. Сравнивая численные значения главных радиусов кривизны, замечаем, что радиус меридиана меньше радиуса первого вертикала, следовательно, всегда кривизна поверхности эллипсоида минимальна вдоль первого вертикала, а максимальна – вдоль меридиана. На полюсе меридиан и первый вертикал совпадают.
    ^ 4. 4. Радиус произвольного нормального сечения. Средний радиус кривизны поверхности эллипсоида.
    Кривизна поверхности эллипсоида в произвольном направлении определяется кривизной нормального сечения, проходящего в азимуте А и выражается уравнением Эйлера в функции главных радиусов кривизны
    , ( 4. 16 )
    откуда несложно получить выражение для радиуса кривизны произвольного нормального сечения

    ( 4. 17 )
    Данное выражение получим после несложных преобразований в виде

    , ( 4. 18 )
    где 2 = e/2 cos2 B. Это обозначение принято в высшей геодезии и будет использовано нами дальше.

    Для решения целого ряда практических задач геодезии на территориях малых размеров с целью упрощения рабочих формул для вычислений поверхность эллипсоида заменяют поверхностью шара, радиус которого принимается равным среднему интегральному значению радиусов кривизны эллипсоида в данной точке. Некоторые из этих задач мы будем рассматривать дальше. Естественно, при этом важным является вопрос расчета точности вычислений.

    Среднее интегральное значение для выражения ( 4. 17 ) в точке будет зависеть только от азимута. При этом видно из выражения ( 4. 17 ), что эта зависимость одинакова в четырех квадрантах, поэтому можем записать
    . ( 4. 19 )
    Подставляя выражение ( 4. 17 ) в ( 4. 18 ), разделим числитель и знаменатель подынтегральной функции на Ncos2 A , в результате запишем

    ( 4. 20 )

    Для приведения полученного выражения к табличному интегралу введем новую переменную по формуле
    ,
    В результате имеем выражение, взамен ( 4. 19 )
    ( 4. 21 )
    Как видим, средний радиус кривизны поверхности эллипсоида равен среднему геометрическому из главных радиусов кривизны. Подставляя в полученное выражение значения главных радиусов кривизны, имеем
    ( 4. 22 )
    Полезно запомнить выражения для радиусов кривизны, если используется полярный радиус кривизны ( 4. 13 ) и вторая функция широты ( 4. 9 ).

    ( 4. 23 )

    Вторую функцию широты можно также выразить через второй эксцентриситет в виде

    ( 4. 24 )

    Средний радиус кривизны эллипсоида применяется для упрощения решения целого ряда геодезических задач: решении треугольников, редукционной проблемы, а также в картографии.

    ^ 4. 5. Длина дуги меридиана
    Меридиан земного эллипсоида представляет собой эллипс, радиус кривизны которого определяется величиной М , зависящей от широты. Длина дуги любой кривой переменного радиуса может быть вычислена по известной формуле дифференциальной геометрии, которая применительно к меридиану имеет выражение

    ( 4. 25 )

    Здесь В1 и В2 широты, для которых определяется длина меридиана. Интеграл не берется в замкнутом виде в элементарных функциях. Для его вычисления возможны лишь приближенные методы интегрирования. При выборе метода приближенного интегрирования обратим внимание на то, что значение эксцентриситета меридианного эллипса величина малая, поэтому здесь возможно применить метод, основанный на разложении в ряд по степеням малой величины (e /2 cos2B  7*10-3) биномиального выражения, стоящего под знаком интеграла. Число членов разложения будет зависеть от необходимой точности вычисления длины дуги меридиана, а также от разности широт ее конечных точек.

    В геодезической практике могут возникать различные случаи, чаще приходится производить вычисления для малых длин ( до 60 км ), но для специальных целей может возникнуть потребность вычислений дуг меридианов большой длины: от экватора до текущей точки ( до 10 000 км ), между полюсами ( до 20 000 км ). Необходимая точность вычислений может достигать величины в 0. 001 м. Поэтому мы рассмотрим вначале общий случай, когда разность широт может достигать 1800, а длина дуги 20 000 км.

    Для разложения в ряд биномиального выражения применяем известную из математики формулу.

    ( 4. 26 )

    Погрешность вычисления с удержанием m членов разложения здесь достаточно определить с помощью остаточного члена в форме Лагранжа, который не меньше по абсолютной величине суммы всех отброшенных членов разложения и вычисляется по формуле

    , ( 4. 27 )

    как первый из отброшенных членов разложения, вычисленный при максимально возможном значении величины x.

    В нашем случае имеем



    Подставляя полученное выражение в уравнение ( 4. 25 ), получим

    , ( 4. 28 )

    которое допускает почленное интегрирование с удержанием необходимого числа членов разложений. Предположим, что длина дуги меридиана может достигать величины 10 000 км ( от экватора до полюса ), что соответствует разности широт В = / 2, при этом требуется ее вычислить с точностью до 0. 001 м, что будет соответствовать относительной величине 10 10. Значение cosB в любом случае не превзойдет единицы. Если при вычислениях будем удерживать третьи степени разложения, то остаточный член в форме Лагранжа имеет выражение



    Как видим, для достижения необходимой точности такого числа членов разложения недостаточно, необходимо удерживать четыре члена разложения и остаточный член в форме Лагранжа будет иметь выражение



    Следовательно, при интегрировании необходимо удерживать в данном случае четыре степени разложения.

    Почленное интегрирование ( 4 . 28 ) не вызывает труда, если преобразовать четные степени в кратные дуги ( cos2nB в Cos(2nB) ), используя известную формулу косинуса двойного аргумента

    ; cos2 B = (1 + cos2B)/2,

    последовательно применяя которую, получаем

    ;

    Действуя таким образом до cos8B , получим после несложных преобразований и интегрирования

    ( 4. 29 )
    Здесь разность широт берется в радианной мере и приняты следующие обозначения коэффициентов, имеющих постоянные значения для эллипсоида с данными параметрами.

    ;

    ;

    ;

    .

    Полезно запомнить, что длина дуги меридиана с разностью широт в один градус примерно равна 111 км, в одну минуту – 1. 8 км, в одну секунду – 0. 031 км.

    В геодезической практике очень часто возникает необходимость вычисления дуги меридиана малой длины ( порядка длины стороны треугольника триангуляции ), в условиях Беларуси это значение не превзойдет величины в 30 км. В этом случае нет необходимости применять громоздкую формулу ( 4. 29 ), а можно получить более простую, но обеспечивающую такую же точность вычислений ( до 0. 001 м ).

    Пусть широты конечных точек на меридиане будут B1 и B2 соответственно. Для расстояний до 30 км это будет соответствовать разности широт в радианной мере, не более 0. 27. Вычисляя среднюю широту Bm дуги меридиана по формуле Bm = ( B1 + B2 ) / 2 , принимаем дугу меридиана за дугу окружности радиусом

    ( 4. 30 )

    и ее длину вычисляем по формуле длины дуги окружности
    , ( 4. 31 )

    где разность широт берется в радианной мере.
    ^ 4. 6. Длина дуги параллели
    Радиус параллели, как видно из формулы ( 4. 10 ), не зависит от долготы и для данной параллели имеет постоянное значение ( параллель – окружность ), поэтому для вычисления длины дуги параллели применяют формулу

    , ( 4. 32 )

    здесь разность долгот берется в радианной мере.

    В отличие от меридиана, длина дуги параллели, соответствующая одинаковой разности долгот, различается. Если на экваторе эти значения близки к тому, что имеет место на меридиане, то, например, на широте в 600 (cos600 = 0. 5 ) они будут в два раза меньше.

    ^ 4. 7. Площадь сфероидической трапеции. Размеры рамок

    трапеций топографических карт
    Трапеция топографической карты любого масштаба является отображением на плоскости в соответствующей проекции ( цилиндрической Гаусса – Крюгера, конической Ламберта и др ) сфероидической трапеции, ограниченной меридианами и параллелями с соответствующей разграфке масштабных рядов разностью долгот и широт. Например, для масштаба 1 : 1 000 000 у нас в стране эти разности приняты соответственно в 60 и 40. В других странах принята иная разграфка, например, для близ экваториальных стран приняты обе разности в 40. В любом случае стремятся к тому, чтобы линейные размеры трапеций карт любого масштаба были бы примерно одинаковыми.

    Пусть мы имеем такую сфероидическую трапецию. Тогда площадь поверхности эллипсоида, ограниченная парами меридианов и параллелей определяется двойным интегралом



    Подынтегральное выражение преобразуем. Для этого перейдем к первому эксцентриситету по известной формуле e/2 = e2 / (1 e2 ), в результате получим

    ( 4. 33 )

    Используя новую переменную по формуле esinB = sinQ, будем иметь

    cosB dB = ( cosQ dQ ) / e.

    В результате имеем после очевидных преобразований и интегрирования

    ( 4. 34 )

    Возвращаясь от переменной Q к широте В, получим

    ( 4. 35 )

    Вычисление площади по полученной формуле производится при условии, что разность долгот берется в радианной мере. При этом точность вычислений зависит только от их разрядности, так как формула ( 4. 35 ) строгая. В учебниках старых изданий приведена другая формула для вычислений площади трапеции, полученная путем разложения биномиального выражения под знаком интеграла ( 4. 33 ) в ряд, что в настоящее время с наличием современной вычислительной техники неактуально.

    Прежде чем приступить к формулам для вычислений размеров рамок топографических карт, полезно заметить следующее. Во – первых, эти размеры нужны для вычерчивания рамок соответствующего масштаба карт, когда предельная графическая точность равна 0. 1 мм в масштабе карты. Например, для масштаба карты 1 : 1 000 000 это будет соответствовать на местности величине в 100 м, а для самого крупного масштаба карты 1 : 10 000, соответственно 1 м. Во – вторых, несложно убедиться, что линейные размеры трапеций карты любого масштаба примерно одинаковы и не превосходят величины 50 х 50 см. В – третьих, численные значения размеров рамок нужны для их нанесения на планшет и вычерчивания с графической точностью ( до 0. 1 мм ). Таким образом мы видим, что в любом случае при вычислениях необходимо учитывать не более четырех значащих цифр.

    На рисунке 4. 4 показана трапеция топографической карты, у которой основаниями являются изображения на плоскости параллелей, а боко-

    В

    Рис. 4. 4выми сторонами – изображения меридианов эллипсоида.

    Для вычисления их длин воспользуемся ранее полученными формулами для малой дуги меридиана и параллели ( 4. 31 , 4. 32 ), при этом будем иметь в виду, что карта масштаба 1 : m , линейные параметры эллипсоида даны в метрах. С учетом этого имеем (4. 36 )

    1. ^ 8. Система дифференциальных уравнений геодезической

    линии
    На рисунке 4. 5 имеем полярный сфероидический треугольник PTK,

    T

    Рис. 4. 5у которого Р – полюс, T и K – бесконечно близкие друг другу точки, соединенные элементарной дугой геодезической линии dS, проходящей через точку T в азимуте А. Через точку К ( широта которой равна В ) проведем параллель, которая пересечет меридиан точки Т в некоторой точке С.

    Рассмотрим элементарный прямоугольный треугольник ТСК у которого все стороны будут бесконечно малы потому, что гипотенуза dS по условию бесконечно мала. Этот треугольник решаем как плоский прямоугольный, при этом будем иметь в виду, что элементарная дуга меридиана ТС равна M dB, а параллели СК - rdL, где d L – разность долгот точек К и Т. РЗ

    В результате можем записать.
    M dB = dS cos A; r dL = dS sin A , (4 . 37 )
    откуда получаем дифференциальные зависимости

    ( 4. 38 )

    Обратимся теперь к треугольнику РTК. Не смотря на то, что одна из его сторон TК бесконечно мала, стороны РT и РК могут достигать значительных величин, зависящих от значения широты точки Т. В этом случае мы можем рассматривать его как сферический и решать по формулам сферической тригонометрии. Рассмотрим элементы этого треугольника. Угол при вершине Р равен dL, при вершине T – азимут А, сторона РТ выражается на сфере единичного радиуса как ( / 2 - В). Угол этого треугольника при вершине К можем определить как ( - А d A ), так как азимут геодезической линии в точке К равен (A + dA).

    Применяя теорему косинуса угла для решения сферического треугольника РТК, имеем

    Применяя формулу для косинуса суммы и разлагая синусы и косинусы бесконечно малых аргументов в ряд и ограничиваясь первыми членами разложений, получим дифференциальное уравнение

    ,
    в котором выражаем dL из второго уравнения ( 4. 38 ) в функции dA и запишем систему трех дифференциальных уравнений для геодезической линии эллипсоида в виде
    ( 4. 39 )


    ^ 4. 9. Уравнение Клеро для геодезической линии
    Система дифференциальных уравнений ( 4. 39 ) имеет очень большое значение. Оно лежит в основе решения задач сфероидической геодезии при определении связи между полярными координатами A и S и параметрическими координатами B и L на поверхности земного эллипсоида. Решение этих задач производится по формулам, следующим из интегрирования системы ( 4. 39 ).

    Французский математик и геодезист Клеро в 1773 году взял первый интеграл системы вида ( 4. 39 ), описывающей геодезические линии на поверхностях вращения. Полученное уравнение в математике носит название уравнение Клеро для геодезических линий на поверхностях вращения.

    Для вывода этого уравнения на поверхности земного эллипсоида перейдем в системе ( 4. 39 ) от геодезической широты В к приведенной широте u по ранее полученной формуле ( 3. 9 ) и формулам, следуемым из нее:

    ;

    с учетом этого система ( 4. 39 ) примет вид
    ( 4. 40 )
    Разделив третье уравнение этой системы на первое, получим после очевидных преобразований



    Интегрируя полученное уравнение, приходим к уравнению

    ,
    откуда получаем уравнение Клеро для геодезической линии на поверхности земного эллипсоида

    sinAcosu = c ( 4. 41 )
    Данное уравнение носит название теоремы Клеро, согласно которой произведение синуса азимута на косинус приведенной широты в каждой точке геодезической линии – величина постоянная.

    Заметим геометрический смысл постоянной с в уравнении ( 4. 41 ). Полагая u = 0 ( экваториальная точка ), имеем c = sinA0; при А=900 ( наиболее удаленная от экватора точка – точка вертекса ) имеем c = cos uВ.

    При использовании уравнения ( 4. 41 ) для вычислений широты по азимуту и наоборот заметим уравнение связи широт, следуемое из ( 3. 9 )



    Если речь идет о двух фиксированных точках на поверхности эллипсоида, то справедливо будет уравнение связи



    Вопросы для самоконтроля по разделу 4:


    1. Какие плоскости образуют сопровождающий трехгранник кривой на поверхности?

    2. Дать определения нормали к поверхности и главной нормали кривой.

    3. Что такое кривизна кривой, ее составляющие?

    4. Дать определения плоского сечения, нормального сечения и геодезической линии на поверхности.

    5. Кривизна поверхности, главные радиусы кривизны поверхности земного эллипсоида.

    6. Как определяется кривизна поверхности в произвольном азимуте?

    7. Средний радиус поверхности в точке, для чего он используется в геодезии?

    8. В чем особенности вычисления длины дуги меридиана земного эллипсоида?

    9. Как вычисляют размеры рамок трапеций топографических карт? Какова точность вычислений?

    10. Записать систему дифференциальных уравнений для геодезической линии эллипсоида.

    11. Перейти в системе дифференциальных уравнений от геодезической к приведенной широте.

    12. Записать уравнение Клеро для геодезической линии эллипсоида.

    ^ 5. РЕШЕНИЕ СФЕРОИДИЧЕСКИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
    5. 1. Общие сведения о решении треугольников
    Основным видом построений в государственных геодезических сетях являются треугольники триангуляции и трилатерации. Для того, чтобы использовать эти треугольники для передачи координат от исходных к определяемым пунктам необходимо знать как длины их сторон, так и внутренние углы. В процессе предварительных вычислений вводят поправки в измеренные углы ( в триангуляции ) и длины сторон ( в трилатерации ) за редуцирование с физической поверхности Земли на поверхность эллипсоида. В результате получают сфероидические треугольники, сторонами которых служат геодезические линии эллипсоида.

    Возникает необходимость решения этих треугольников. При этом в триангуляции по измеренным углам и длине одной из сторон треугольника вычисляют стороны всех треугольников сети. В трилатерации – по измеренным длинам сторон вычисляют углы треугольников. Проблема решения этой задачи заключается в том, что не существует формул сфероидической тригонометрии, подобных формулам плоской и сферической тригонометрии. Вместе с тем замечаем: во – первых, полярное сжатие земного эллипсоида величина малая, во – вторых, длины сторон сфероидических треугольников – малые величины по сравнению с радиусом кривизны эллипсоида.

    Ранее мы получили выражение для среднего радиуса кривизны эллипсоида R = . В связи с этим возникает вопрос, при каких условиях для решения треугольников можно заменить область на поверхности эллипсоида соответствующей областью на поверхности шара, если его радиус принять равным R0 , вычисленным по средней широте В0 данной области эллипсоида. Другими словами, когда элементы сфероидического треугольника будут с необходимой точностью соответствовать элементам сферического треугольника. В этом случае треугольники можно решать как сферические. Исследования показывают, что такое возможно, если сеть треугольников располагается в сфероидическом поясе шириной до 300 км или на удалении от параллели с широтой В0 до 150 км. В этом случае длины сторон треугольников первого и последующих классов будут отличаться на величину, не более 0. 001 м, а углы – 0. 001//. При пониженных требованиях к необходимой точности решения треугольников ширина пояса увеличивается, например, при точности, на порядок ниже, ширина пояса может достигать 570 км.

    Решение треугольников по формулам сферической тригонометрии не совсем удобно на практике, когда длины сторон нужно выражать в долях радиуса ( S / R0 ), поэтому в геодезии применяют методы решения малых сферических треугольников по формулам плоской тригонометрии, основанным на теореме Лежандра и способе аддитаментов.


    1. ^ 2 . Теорема Лежандра


    Пусть мы имеем сферический треугольник ABC на сфере радиуса R0. Возьмем плоский треугольник A/ B/ C/ с соответственно равными сторонами ( рис. 5. 1 ). Углы этих треугольников, расположенные против соответственно равных сторон, не будут равны соответствующим углам сферического треугольника.

    А

  • 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23

    Похожие:

    Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий ɝосударственный...
    С. А. ɀУков, зам начальника Новополоцкого городского отдела по чрезвычайным ситуациям
    Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики беларусь учреждение образования «Гомельский государственный...
    Учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»
    Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики Беларусь Учреждение образования «Гродненский государственный...
    Учреждение образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы»
    Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconПрограмма совместной деятельности управления образования Витебского...
    Программа совместной деятельности регулирует взаимоотношения управления образования Витебского облисполкома и уо «Полоцкий государственный...
    Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики Беларусь Учреждение образования “Гродненский государственный...
    Автор-составитель Н. Л. Улейчик, кандидат исторических наук, доцент кафедры истории славянских государств
    Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconМинистерство здравоохранения республики беларусь учреждение образования...
    Определение фармакологии. Задачи фармакологии как науки и учебной дисциплины, ее роль и место в системе здравоохранения и медицинского...
    Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconМинистерство здравоохранения республики беларусь учреждение образования...
    Определение фармакологии. Задачи фармакологии как науки и учебной дисциплины, ее роль и место в системе здравоохранения и медицинского...
    Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconРеспублики Беларусь Учреждение образования «Гродненский государственный аграрный университет»
    При анализе режимов работы теплосиловых установок часто приходится иметь дело с разного рода жидкостями и их парами: водой, аммиаком,...
    Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconПродовольствия республики беларусь учреждение образования «гродненский...
    Рецензенты: доцент, кандидат биологических наук, Макарчиков А. Ф., доцент, кандидат биологических наук Кубышин В. Л
    Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» высшая геодезия: сфероидическая геодезия iconУчебно методический комплекс для студентов специальности 1 56 02...
    Республики Беларусь осрб 1-56 02 01-2007. Приведены темы изучаемого курса, лекционных и лабораторных занятий. Изложены основные принципы...
    Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
    Школьные материалы


    При копировании материала укажите ссылку © 2014
    контакты
    vb2.userdocs.ru
    Главная страница